Grupa diedralna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Grupa diedralna[a]grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla grupa symetrii -kąta foremnego ma elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji. Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od liczby naturalne: jeśli to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną (jedyną grupą tego rzędu); dla przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory[edytuj]

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech oraz oznacza obrót płaszczyzny o kąt wokół ustalonego jej punktu zaś będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez Ponieważ -krotne złożenie ze sobą jest w istocie obrotem o w szczególności -krotne złożenie jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. to jest elementem rzędu grupy Podobnie jest elementem rzędu drugiego, gdyż (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu z symetrią osiową można myśleć na kilka sposobów:

  • symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób
  • z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.
  • podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość
mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla grupa nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie; ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu można uzyskać obrotów (wliczając w to sam obrót i obrót trywialny ) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię z tymi obrotami otrzymuje się symetrii (wliczając w to symetrię przy obrocie trywialnym ), to grupa tych przekształceń ma elementów postaci gdzie oraz

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii -kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót rzędu i symetrię rzędu bądź przez dwie symetrie rzędu [b].

Własności i charakteryzacja[edytuj]

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia [c]:

  • dla nieparzystego:
  • dla parzystego:
Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio oraz elementów. Dla centrum grupy jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe w przypadku parzystym[d]. Wynika stąd, że jeśli jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to [e][f]; w ogólności jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym Komutant grupy to [g][h].

Jeśli (z elementem neutralnym ), gdzie dla pewnego oraz a ponadto to istnieje epimorfizm jeśli to epimorfizm ten jest izomorfizmem[i]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji w postaci grupy macierzy stopnia nad mianowicie zbiór macierzy

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad postaci gdzie a wyraz jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją jako podgrupy w postaci izometrii własnych generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu Niech przy czym Jeśli oraz komutują (tzn. ), to – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile w przeciwnym przypadku jest grupą cykliczną rzędu Jeżeli i nie komutują, to ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć ogólną definicję grupy diedralnej jako grupy skończonej generowanej przez dwa elementy drugiego rzędu; ponadto większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla a nie tylko – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu nad ponadto nie można wtedy zanurzyć w gdyż dla W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy rzędu element musi być sprzężony z bądź i komutują ze wspólnym elementem rzędu Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup[edytuj]

Dowolna podgrupa grupy jest:

  • cykliczna, postaci gdzie i indeksu bądź
  • diedralna, postaci gdzie oraz i indeksu

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli jest nieparzysta i to istnieje podgrup indeksu dla nieparzystej (sprzężonych z ) oraz jedna podgrupa indeksu dla parzystego (równej ), a ponadto jeżeli jest parzysta i to

  • jeśli jest nieparzysta, to istnieje podgrup grupy indeksu (sprzężonych z ),
  • jeśli jest parzysta i nie dzieli to istnieje tylko jedna podgrupa grupy indeksu (równa ),
  • jeśli jest parzysta i to istnieje podgrup grupy indeksu (i dowolna podgrupa indeksu jest równa bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup lub ).

Wynika stąd, że jeżeli jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w dla − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w indeksu gdy oraz i indeksu W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w poza trzema podgrupami normalnymi indeksu dla parzystego Łączna liczba podgrup w dla wynosi gdzie oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby zaś oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Uwagi

  1. Od łac. dihedron, gr. δίεδρον diedron: di-, „dwu-, podwójny” oraz gr. -edron, od ἕδρα edra, „siedzisko, siedlisko, siedziba; siedzenie, miejsce, pozycja; pośladki, kuper; ściana bryły (geom.)”.
    Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdal; -hedral od nowołac. hedron, z gr. jw.) – w polszczyźnie temat został zapożyczony bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera „h”, por. tetraedr, heksaedr, oktaedr.
  2. Dokładniej, ponieważ to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą i
  3. Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności: Wzory i przy zmiennym pokazują, że są jedynymi elementami sprzężonymi do Znalezienie klasy sprzężoności wymaga obliczeń i dla różnych element jest odbiciem, w którym w wykładniku występuje liczba podzielna przez Jeżeli jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo jest wielokrotnością stąd a więc każde odbicie jest sprzężone z dla nieparzystego Jeśli jednak jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z druga połowa jest sprzężona z otóż oraz dają przy zmiennym zbiór
  4. Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.
  5. Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech zaś oznacza centrum będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że jest podgrupą i z definicji elementy komutują z elementami Przekształcenie dane wzorem jest homomorfizmem, ze względu na to, że jest centrum jego jądrem jest trywialne przecięcie stąd Istotnie, jeśli to bądź dla pewnego przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga co daje sprzeczność ze względu na parzystość oraz i nieparzystość drugi jest niedorzecznością w postaci będącego potęgą Ponieważ jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru) wynosi równy rzędowi (mocy) to jest izomorfizmem.
  6. Jeśli jest podzielne przez to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli i są parzyste, to centrum jest grupą cykliczną rzędu zatem centrum jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder
  7. Komutator tej postaci oznacza, że zawiera się w komuntancie. Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w innym sposobem jest znalezienie ilorazu będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z są trywialne w a więc wszystkie komutatory z leżą w Grupa jest normalna (sprzężenia potęg są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie ponieważ gdyż ), dzięki czemu jest abelowa.
  8. Jeśli jest nieparzysta, to
  9. Warunki oraz nie oznaczają, że elementy mają rzędy odpowiednio lecz że są dzielnikami tych liczb.