Grupa diedralna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Grupa diedralna[1] a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla \scriptstyle n \geqslant 3 grupa symetrii \scriptstyle n-kąta foremnego ma \scriptstyle 2n elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem \scriptstyle \mathrm D_n, który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz \scriptstyle \mathrm D_{2n}, gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu wykorzystywana będzie pierwsza notacja. Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od \scriptstyle 3 liczby naturalne: jeśli \scriptstyle n = 2, to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy \scriptstyle n = 1, to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną \scriptstyle 2 (jedyną grupą tego rzędu); dla \scriptstyle n = 0 przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory[edytuj | edytuj kod]

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech \scriptstyle n \geqslant 2 oraz \scriptstyle \mathrm r oznacza obrót płaszczyzny o kąt \scriptstyle \frac{360^\circ}{n} wokół ustalonego jej punktu \scriptstyle p, zaś \scriptstyle \mathrm s będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez \scriptstyle p. Ponieważ \scriptstyle k-krotne złożenie \scriptstyle \mathrm r ze sobą jest w istocie obrotem o \scriptstyle \frac{360^\circ \cdot k}{n}; w szczególności \scriptstyle n-krotne złożenie \scriptstyle \mathrm r jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. \scriptstyle \mathrm r^n = \mathrm{id}, to \scriptstyle \mathrm r jest elementem rzędu \scriptstyle n grupy \scriptstyle \mathrm D_n. Podobnie \scriptstyle \mathrm s jest elementem rzędu drugiego, gdyż \scriptstyle \mathrm s^2 = \mathrm{id} (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu \scriptstyle \mathrm r z symetrią osiową \scriptstyle \mathrm s można myśleć na kilka sposobów:

  • symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób
\mathrm{srs}^{-1} = \mathrm{srs} = \mathrm r^{-1};
  • z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.
\mathrm s = \mathrm r^{-1} \mathrm{sr}^{-1};
  • podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość
\mathrm{rs} = \mathrm{sr}^{-1}
mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla \scriptstyle n \geqslant 3 grupa \scriptstyle \mathrm D_n nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy \scriptstyle \mathrm r \ne \mathrm r^{-1}.

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie; ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu \scriptstyle \mathrm r można uzyskać \scriptstyle n obrotów (wliczając w to sam obrót \scriptstyle \mathrm r i obrót trywialny \scriptstyle \mathrm{id}) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię \scriptstyle \mathrm s z tymi obrotami otrzymuje się \scriptstyle n symetrii (wliczając w to symetrię \scriptstyle \mathrm s przy obrocie trywialnym \scriptstyle \mathrm{id}), to grupa tych przekształceń ma \scriptstyle 2n elementów postaci \scriptstyle \mathrm r, \mathrm r^2, \dots, \mathrm r^n, \mathrm{sr}, \mathrm{sr}^2, \dots, \mathrm{sr}^n, gdzie \scriptstyle \mathrm r^n = \mathrm{id} oraz \scriptstyle \mathrm{sr}^n = \mathrm s.

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii \scriptstyle n-kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót \scriptstyle \mathrm r rzędu \scriptstyle n i symetrię \scriptstyle \mathrm s rzędu \scriptstyle 2 bądź przez dwie symetrie \scriptstyle \mathrm s, \mathrm{rs} rzędu \scriptstyle 2[2].

Własności i charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia \scriptstyle n[3]:

  • dla nieparzystego:
    \{\mathrm{id}\}, \left\{\mathrm r^{\pm 1}\right\}, \dots, \left\{\mathrm r^{\pm (n-1)/2}\right\}, \left\{\mathrm r^i s\colon 0 \leqslant i < n\right\};
  • dla parzystego:
    \{\mathrm{id}\}, \left\{\mathrm r^{\pm 1}\right\}, \dots, \left\{\mathrm r^{\pm (n/2 - 1)}\right\}, \left\{\mathrm r^{n/2}\right\}, \left\{\mathrm r^{2i} s\colon 0 \leqslant i < \tfrac{n}{2}\right\}, \left\{\mathrm r^{2i + 1} s\colon 0 \leqslant i < \tfrac{n}{2}\right\}.
Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio \scriptstyle 1, 2, \dots, 2, n oraz \scriptstyle 1, 2, \dots, 2, 1, n/2, n/2 elementów. Dla \scriptstyle n \geqslant 3 centrum grupy \scriptstyle \mathrm D_n jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe \scriptstyle \left\{\mathrm{id}, \mathrm r^{n/2}\right\} w przypadku parzystym[4]. Wynika stąd, że jeśli \scriptstyle n \geqslant 6 jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to \scriptstyle \mathrm D_n \simeq \mathrm D_{n/2} \times \mathbb Z_2[5][6]; w ogólności \scriptstyle \mathrm D_n jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym \scriptstyle \mathbb Z_n \ltimes \mathbb Z_2. Komutant grupy \scriptstyle \mathrm D_n to \scriptstyle \langle r^2 \rangle[7][8].

Jeśli \scriptstyle G = \langle a, b \rangle, gdzie \scriptstyle a^n = e dla pewnego \scriptstyle n \geqslant 3 oraz \scriptstyle b^2 = e, a ponadto \scriptstyle bab^{-1} = a^{-1}, to istnieje epimorfizm \scriptstyle \mathrm D^n \to G; jeśli \scriptstyle |G| = 2n, to epimorfizm ten jest izomorfizmem[9]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem \scriptstyle \mathrm D_n jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji \scriptstyle \mathrm D_n w postaci grupy macierzy stopnia \scriptstyle 2 nad \scriptstyle \mathbb Z_n, mianowicie zbiór macierzy

\tilde{\mathrm D_n} = \left\{\begin{bmatrix} \pm 1 & c \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\colon c \in \mathbb Z_n \right\}

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej \scriptstyle \mathrm{GL}_2(\mathbb Z_n); grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad \scriptstyle \mathbb Z_n postaci \scriptstyle \mathrm f(x) = \varepsilon x + c, gdzie \scriptstyle \varepsilon = \pm 1, a wyraz \scriptstyle c jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją \scriptstyle \mathrm D_n jako podgrupy \scriptstyle \mathrm{GL_2}(\mathbb R) w postaci izometrii własnych \scriptstyle \mathbb R^2 generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

\begin{bmatrix} \cos \tfrac{2\pi}{n} & -\sin \tfrac{2\pi}{n} \\ \sin \tfrac{2\pi}{n} & \ \ \cos \tfrac{2\pi}{n} \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix};

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia \scriptstyle n oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z \scriptstyle \mathrm D_n.

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu \scriptstyle 2. Niech \scriptstyle G = \langle x, y \rangle, przy czym \scriptstyle x^2 = y^2 = e. Jeśli \scriptstyle x oraz \scriptstyle y komutują, to \scriptstyle G = \{e, x, y, xy\} – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile \scriptstyle x \ne y; w przeciwnym przypadku \scriptstyle G = \{e, x\} = \langle x \rangle jest grupą cykliczną rzędu \scriptstyle 2. Jeżeli \scriptstyle x i \scriptstyle y nie komutują, to \scriptstyle G ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli \scriptstyle G jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu \scriptstyle 2, to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć ogólną definicję grupy diedralnej jako grupy skończonej generowanej przez dwa elementy drugiego rzędu; ponadto większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla \scriptstyle n > 0, a nie tylko \scriptstyle n \geqslant 3 – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu \scriptstyle \mathrm D_n nad \scriptstyle \mathbb Z_n; ponadto \scriptstyle \mathrm D_n nie można wtedy zanurzyć w \scriptstyle \mathrm S_n, gdyż \scriptstyle 2n > n! dla \scriptstyle n \leqslant 2. W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy \scriptstyle x, y rzędu \scriptstyle 2 element \scriptstyle x musi być sprzężony z \scriptstyle y, bądź \scriptstyle x i \scriptstyle y komutują ze wspólnym elementem rzędu \scriptstyle 2. Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup[edytuj | edytuj kod]

Dowolna podgrupa grupy \scriptstyle \mathrm D_n jest:

  • cykliczna, postaci \scriptstyle \langle \mathrm r^d \rangle, gdzie \scriptstyle d|n, i indeksu \scriptstyle 2d; bądź
  • diedralna, postaci \scriptstyle \langle \mathrm r^d, \mathrm r^i \mathrm s \rangle, gdzie \scriptstyle d|n oraz \scriptstyle 0 \leqslant i < d, i indeksu \scriptstyle d;

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli \scriptstyle n jest nieparzysta i \scriptstyle m|2n, to istnieje \scriptstyle m podgrup \scriptstyle \mathrm D_n indeksu \scriptstyle m dla nieparzystej \scriptstyle m (sprzężonych z \scriptstyle \langle \mathrm r^m, \mathrm s \rangle) oraz jedna podgrupa \scriptstyle \mathrm D_n indeksu \scriptstyle m dla parzystego \scriptstyle m (równej \scriptstyle \langle \mathrm r^{m/2} \rangle), a ponadto jeżeli \scriptstyle n jest parzysta i \scriptstyle m|2n, to

  • jeśli \scriptstyle m jest nieparzysta, to istnieje \scriptstyle m podgrup grupy \scriptstyle \mathrm D_n indeksu \scriptstyle m (sprzężonych z \scriptstyle \langle \mathrm r^m, \mathrm s \rangle),
  • jeśli \scriptstyle m jest parzysta i nie dzieli \scriptstyle n, to istnieje tylko jedna podgrupa grupy \scriptstyle \mathrm D_n indeksu \scriptstyle m (równa \scriptstyle \langle \mathrm r^{m/2} \rangle),
  • jeśli \scriptstyle m jest parzysta i \scriptstyle m|n, to istnieje \scriptstyle m + 1 podgrup grupy \scriptstyle \mathrm D_n indeksu \scriptstyle m (i dowolna podgrupa indeksu \scriptstyle m jest równa \scriptstyle \langle \mathrm r^{m/2} \rangle bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup \scriptstyle \langle \mathrm r^m, \mathrm s \rangle lub \scriptstyle \langle \mathrm r^m, \mathrm{rs} \rangle).

Wynika stąd, że jeżeli \scriptstyle n jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w \scriptstyle \mathrm D_n\scriptstyle \langle \mathrm r^d \rangle dla \scriptstyle d|n − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli \scriptstyle n jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w \scriptstyle \mathrm D_n\scriptstyle \langle \mathrm r^d \rangle indeksu \scriptstyle d, gdy \scriptstyle d|n oraz \scriptstyle \langle \mathrm r^2, \mathrm s \rangle i \scriptstyle \langle \mathrm r^2, \mathrm {rs} \rangle indeksu \scriptstyle 2. W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w \scriptstyle \mathrm D_n poza trzema podgrupami normalnymi \scriptstyle \langle \mathrm r \rangle, \langle \mathrm r^2, \mathrm s \rangle, \langle \mathrm r^2, \mathrm{rs} \rangle indeksu \scriptstyle 2 dla parzystego \scriptstyle n. Łączna liczba podgrup w \scriptstyle \mathrm D_n dla \scriptstyle n \geqslant 3 wynosi \scriptstyle d(n) + \sigma(n), gdzie \scriptstyle d(n) oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby \scriptstyle n, zaś \scriptstyle \sigma(n) oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Przypisy

  1. Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdral, urobione od łac./gr. di-, „dwu-, podwójny” oraz -hedral, od nowołac. hedron, z gr. -edron, od hedra, „siedlisko, siedziba, siedzenie”; w języku polskim cząstkę tę zapożyczono bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera ona „h”).
  2. Dokładniej, ponieważ \scriptstyle \mathrm r = \mathrm{rs} \cdot \mathrm s, to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą \scriptstyle \mathrm{rs} i \scriptstyle \mathrm s.
  3. Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności: \scriptstyle \mathrm{sr}^j \mathrm s^{-1} = \mathrm r^{-j}. Wzory \scriptstyle \mathrm r^i \mathrm r^j \mathrm r^{-i} = \mathrm r^j i \scriptstyle (\mathrm r^i \mathrm s) \mathrm r^j (\mathrm r^i \mathrm s)^{-1} = \mathrm r^{-j} przy zmiennym \scriptstyle i pokazują, że \scriptstyle \mathrm r^j, \mathrm r^{-j} są jedynymi elementami sprzężonymi do \scriptstyle \mathrm r^j. Znalezienie klasy sprzężoności \scriptstyle \mathrm s wymaga obliczeń \scriptstyle \mathrm r^i \mathrm{sr}^{-i} = \mathrm r^{2i} \mathrm s i \scriptstyle (\mathrm r^i \mathrm s) \mathrm s (\mathrm r^i \mathrm s)^{-1} = \mathrm r^{2i} \mathrm s; dla różnych \scriptstyle i element \scriptstyle \mathrm r^{2i} \mathrm s jest odbiciem, w którym w wykładniku \scriptstyle \mathrm r występuje liczba podzielna przez \scriptstyle 2. Jeżeli \scriptstyle n jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo \scriptstyle n jest wielokrotnością \scriptstyle 2, stąd \scriptstyle \left\{\mathrm r^{2i} \mathrm s\colon i \in \mathbb Z\right\} = \left\{\mathrm r^i \mathrm s\colon i \in \mathbb Z\right\}, a więc każde odbicie jest sprzężone z \scriptstyle \mathrm s dla nieparzystego \scriptstyle n. Jeśli jednak \scriptstyle n jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z \scriptstyle \mathrm s; druga połowa jest sprzężona z \scriptstyle \mathrm{rs}, otóż \scriptstyle \mathrm r^i (\mathrm{rs}) \mathrm r^{-i} = \mathrm r^{2i + 1} \mathrm s oraz \scriptstyle (\mathrm r^i \mathrm s)(\mathrm{rs})(\mathrm r^i \mathrm s)^{-1} = \mathrm r^{2i - 1} \mathrm s dają przy zmiennym \scriptstyle i zbiór \scriptstyle \left\{\mathrm{rs}, \mathrm r^3 \mathrm s, \dots, \mathrm r^{n - 1} \mathrm s\right\}.
  4. Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.
  5. Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech \scriptstyle H = \langle \mathrm r^2, \mathrm s \rangle \simeq \mathrm D_{n/2}, zaś \scriptstyle Z = \left\{1, \mathrm r^{n/2}\right\} oznacza centrum \scriptstyle \mathrm D_n będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że \scriptstyle HZ jest podgrupą \scriptstyle \mathrm D_n i z definicji elementy \scriptstyle H komutują z elementami \scriptstyle Z. Przekształcenie \scriptstyle f\colon H \times Z \to \mathrm D_n dane wzorem \scriptstyle f(h, z) = hz jest homomorfizmem, ze względu na to, że \scriptstyle Z jest centrum \scriptstyle \mathrm D_n; jego jądrem jest trywialne przecięcie \scriptstyle H \cap Z, stąd \scriptstyle \mathrm r^{n/2} \notin H. Istotnie, jeśli \scriptstyle \mathrm r^{n/2} \in H, to \scriptstyle \mathrm r^{n/2} = \mathrm r^{2k} bądź \scriptstyle \mathrm r^{n/2} = \mathrm r^{2k} \mathrm s dla pewnego \scriptstyle k, przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga \scriptstyle n/2 \equiv 2k \bmod n, co daje sprzeczność ze względu na parzystość \scriptstyle 2k oraz \scriptstyle n i nieparzystość \scriptstyle n/2; drugi jest niedorzecznością w postaci \scriptstyle \mathrm s będącego potęgą \scriptstyle \mathrm r. Ponieważ \scriptstyle f jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru) \scriptstyle H \times Z wynosi \scriptstyle 2n równy rzędowi (mocy) \scriptstyle \mathrm D_n, to \scriptstyle f jest izomorfizmem.
  6. Jeśli \scriptstyle n jest podzielne przez \scriptstyle 4, to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli \scriptstyle n i \scriptstyle n/2 są parzyste, to centrum \scriptstyle \mathrm D_n jest grupą cykliczną rzędu \scriptstyle 2, zatem centrum \scriptstyle \mathrm D_{n/2} jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder \scriptstyle \mathrm D_n \not \simeq \mathrm D_{n/2} \times \mathbb Z_2.
  7. Komutator \scriptstyle [\mathrm r, \mathrm s] = \mathrm{rsr}^{-1} \mathrm s^{-1} = \mathrm{rrss}^{-1} = \mathrm r^2 tej postaci oznacza, że \scriptstyle \langle \mathrm r^2 \rangle należy do komuntanta. Można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w \scriptstyle \langle \mathrm r^2 \rangle; innym sposobem jest znalezienie ilorazu \scriptstyle \mathrm D_n/N będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z \scriptstyle \mathrm D_n są trywialne w \scriptstyle \mathrm D_n/N, a więc wszystkie komutatory z \scriptstyle \mathrm D_n leżą w \scriptstyle N. Grupa \scriptstyle N = \langle \mathrm r^2 \rangle jest normalna (sprzężenia potęg \scriptstyle \mathrm r^2 są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do \scriptstyle N), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację \scriptstyle \left\{\overline \mathrm e, \overline r, \overline s, \overline{rs}\right\} izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie \scriptstyle \mathrm rs \equiv \mathrm sr \bmod N, ponieważ \scriptstyle \mathrm r \equiv \mathrm r^{-1} \bmod N, gdyż \scriptstyle \mathrm r^2 \in N), dzięki czemu \scriptstyle \mathrm D_n/N jest abelowa.
  8. Jeśli \scriptstyle n jest nieparzysta, to \scriptstyle \langle \mathrm r \rangle = \langle \mathrm r^2 \rangle.
  9. Warunki \scriptstyle a^n = \mathrm e oraz \scriptstyle b^2 = 1 nie oznaczają, że elementy \scriptstyle a, b mają rzędy odpowiednio \scriptstyle n, 2, lecz że są dzielnikami tych liczb.