Grupa okręgu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Grupa kołowa)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa okręgupodgrupa 𝕋 grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

\begin{array}{lcl}\mathbb{T}&=&\{z\in \mathbb{C}\colon |z|=1\},\\
& = & \{e^{it}\colon t\in \mathbb{R}\}.\end{array}

W grupie 𝕋, jako podgrupie grupy multyplikatywnej ciała ℂ, działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych a elementem neutralnym jest 1 = e0. Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiedno, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem 𝕋2), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie 𝕋.

Własności[edytuj]

Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module \scriptstyle 360^\circ = 2\pi.
Dowód. Odwzorowanie h: ℝ → 𝕋 dane wzorem h(x) = e2 π i x (x ∈ ℝ) jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest ℤ. Podgrupa ℤ grupy ℝ jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie H: ℝ/ℤ → 𝕋 dane wzorem H([x]) = h(x), gdzie [x] ∈ ℝ/ℤ jest homeomorficznym izomorfizmem grup.
it \mapsto \exp(it) = e^{it} = \cos t + i\sin t;
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitych[edytuj]

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do 𝕋 złożona z ciągłych homomorfizmów do 𝕋 jest dyskretna. Co więcej

\hat{\mathbb{T}} \cong \mathbb{Z},

a zatem z dualności Pontriagina także

\hat{\mathbb{Z}} \cong \mathbb{T}.

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm χ: ℝ → 𝕋 jest postaci

\chi(x) = e^{2\pi i xy}\quad (x\in \mathbb{R})

dla pewnej liczby rzeczywistej y. Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm χ: 𝕋 → 𝕋 jest postaci χ(z) = zn dla pewnego n ∈ ℤ. W szczególności, grupa dualna do 𝕋 jest izomorficzna z ℤ.

Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych 𝕋 ≅ ℝ/ℤ, wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z ℝ/ℤ do 𝕋.
Niech χ: ℝ/ℤ → 𝕋 będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech χ’ : ℝ → 𝕋 będzie jego podniesieniem do ℝ, tj. χ’(x) = χ(x mod ℤ). Wówczas χ’(x) = e2πixy dla pewnego y ∈ ℝ. W szczególności, gdy x = 1, to 1 = e2πiy, skąd y musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.

Bibliografia[edytuj]

  • N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris, 1966.
  • Luogeng Hua: Starting with the unit circle. Springer, 1981. ISBN 978-1-4613-8138-9.