Grupa kwaternionów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa kwaternionównieabelowa[1][2][3][4] grupa[5][6] multiplikatywna[2][7] rzędu 8[1][6][8], oznaczana symbolem [1][2][4][7][9][10] lub rzadziej [5][11][12][13][14] lub [5], składająca się z następujących elementów: [1][2][6] będących kwaternionami[2][11]. Generatorami tej grupy są kwaterniony oraz [2][4].

Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku[12]. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie[11].

Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej [5][7]. Określmy następujące macierze:

[5][7][9][13][14].

Wtedy zbiór tworzy grupę [7][9].

W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya[1][2][6][10][11][15]:

1 −1 i i j j k k
1 1 −1 i i j j k k
−1 −1 1 i i j j k k
i i i −1 1 k k j j
i i i 1 −1 k k j j
j j j k k −1 1 i i
j j j k k 1 −1 i i
k k k j j i i −1 1
k k k j j i i 1 −1

Podgrupami grupy kwaternionów są , , , , oraz [1]. Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne[1][3].

Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona[3][9].

Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego[11], a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego[16].

Przypisy[edytuj]