Grupa nilpotentna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa nilpotentnagrupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja[edytuj]

Grupę nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych , że:

  1. grupy ilorazowe podgrupami centrum dla .

Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy . Najmniejsze dla którego grupa jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznacza .

Uwaga[edytuj]

Następujące warunki są równoważne:

  1. Ciąg jest centralny.
  2. Ciąg jest normalny oraz .
  3. .

Przykłady[edytuj]

Grupą nilpotentną jest na przykład:

  • dowolna grupa przemienna,
  • grupa multiplikatywna macierzy postaci , gdzie są elementami pewnego ciała,
  • grupa kwaternionów , ma centrum rzędu 2 ( ); ciąg centralny tej grupy to , zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności,
  • każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup,
  • dyskretna grupa Heisenberga.
  • każda grupa rzędu , gdzie jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz .

Własności[edytuj]

  • Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna.
  • Jeżeli komutant grupy jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna.
  • grupy permutacji nie są nilpotentne dla .
  • Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej , co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
  • Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
    • jest nilpotentna.
    • Jeżeli jest właściwą podgrupą , to jest właściwą podgrupą normalną normalizatora .
    • Każda maksymalna podgrupa właściwa jest normalna.
    • G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa.
  • Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa grupy jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w (zob. podgrupa torsyjna).
  • Jeśli grupa jest nilpotentna stopnia , to jest nilpotentna stopnia .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002. ISBN 83-904564-9-4. (pol.)
  • M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978