Grupa nilpotentna

Grupa nilpotentna – grupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja

Grupę $G$ nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych $\{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G,$ że:

1. $G_{i}\triangleleft G,\;i=0,\dots ,n$
2. grupy ilorazowe $G_{i+1}/G_{i}$ są podgrupami centrum $Z(G/G_{i})$ dla $i=0,1,2,\dots ,n-1.$

Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy $G.$ Najmniejsze $n$ dla którego grupa $G$ jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznaczamy $\operatorname {nil} \;G.$

Uwaga

Następujące warunki są równoważne:

1. Ciąg $\{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G$ jest centralny.
2. Ciąg $\{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G$ jest normalny oraz $[G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.$
3. $[G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.$

Przykłady

Grupą nilpotentną jest na przykład:

• dowolna grupa przemienna,
• grupa multiplikatywna macierzy postaci ${\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}},$ gdzie $a,b,c$ są elementami pewnego ciała,
• grupa kwaternionów $Q_{8},$ ma centrum rzędu 2 $(Z(Q_{8})=\{1,-1\});$ ciąg centralny tej grupy to $\{1\},\;\{1,-1\},Q_{8},$ zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności,
• każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup,
• dyskretna grupa Heisenberga.
• każda grupa $G$ rzędu $p^{k},$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz $\operatorname {nil} G\leqslant k.$

Własności

• Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna.
• Jeżeli komutant grupy $G$ jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna.
• grupy permutacji $S_{n}$ nie są nilpotentne dla $n>2.$
• Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy $n$ jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej $n,$ co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
• Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
  • $G$ jest nilpotentna.
  • Jeżeli $H$ jest właściwą podgrupą $G,$ to $H$ jest właściwą podgrupą normalną normalizatora $N(H).$
  • Każda maksymalna podgrupa właściwa $G$ jest normalna.
  • G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa.
• Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli $G$ jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa $G_{p}$ grupy $G$ jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w $G$ (zob. podgrupa torsyjna).
• Jeśli grupa $G/Z(G)$ jest nilpotentna stopnia $n,$ to $G$ jest nilpotentna stopnia $n+1.$

Zobacz też

• grupa

Bibliografia

• Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002. ISBN 83-904564-9-4. (pol.).brak strony w książce
• M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978