Grupa permutacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy grup bijekcji zbiorów skończonych. Zobacz też: grupa bijekcji.

Grupa permutacjigrupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba elementów (tj. rząd) grupy permutacji zbioru -elementowego wynosi (zob. silnia).

Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela–Ruffiniego).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych[a].

Nazewnictwo i oznaczenia[edytuj]

Grupy permutacji bywają nazywane również grupami symetrycznymi, choć termin ten należy raczej traktować ogólnie; niektóry autorzy[1] „grupami permutacji” nazywają podgrupy właściwe grupy symetrycznej (tu: wszystkich permutacji danego zbioru). Niekiedy używa się również nazwy grupa bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych), jednak zwykle nazwa ta odnosi się do grup przekształceń dowolnych zbiorów (w tym nieskończonych).

Zwykle[2][3][4] grupy permutacji zbioru -elementowego oznacza się symbolem grupy bijekcji zbioru oznaczane są często[2] choć stosuje się też inne oznaczenia, np. [5], dla grup bijekcji, czy , [5] dla grupy permutacji.

Przykłady[edytuj]

Jeśli jest zbiorem pustym, to istnieje jedno trywialne uporządkowanie tego zbioru: (permutacja pusta). Gdy jest zbiorem jednoelementowym, to grupa permutacji znowu zawiera wyłącznie tylko permutację trywialną Jeżeli jest zbiorem dwuelementowym, to tylko dwie permutacje tego zbioru: (tożsamość) oraz (transpozycja).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kurosch A. G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59-62.
  2. a b Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5
  3. Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.
  4. J. Browkin, Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.
  5. a b Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.

Uwagi

  1. Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).