Grupa trywialna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa trywialna[a]grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami[b].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:

wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe które uczyniłoby z niego grupę[f]. Wówczas wzór

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. czy (w notacji multiplikatywnej) albo (w notacji addytywnej).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.

W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Zob. trywialność w matematyce.
  2. Grupa nie może być określona na zbiorze pustym, gdyż jeden z jej aksjomatów wymaga wyróżnienia elementu pełniącego rolę elementu neutralnego.
  3. W obu przypadkach można użyć działań o dowolnym module, a nawet standardowych działań arytmetycznych.
  4. Ogólniej: dowolnym ciałem.
  5. Grupa permutacji (nazywana też grupą bijekcji lub grupą symetryczną) jest tożsama z grupą alternującą
    • grupą diedralną (przy założeniu konstrukcji na wychodzącej od grup przekształceń).
  6. Zob. grupa wolna.