Grupa trywialna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy grup o najprostszej możliwej strukturze. Zobacz też: podgrupa trywialna.

Grupa trywialna[1]grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami[2].

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np. grupa addytywna z działaniem dodawania modulo grupa multiplikatywna z działaniem mnożenia modulo (zob. arytmetyka modularna[3]), grupa pierwiastków z jedynki nad ciałem liczb zespolonych[4], czy grupa permutacji zbioru jednoelementowego[5], lecz wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe które uczyniłoby z niego grupę[6]. Wówczas wzór

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. czy (w notacji multiplikatywnej) albo (w notacji addytywnej).

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty); jako taka jest ona zatem przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę. W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.

Przypisy

  1. Zob. trywialność w matematyce.
  2. Grupa nie może być określona na zbiorze pustym, gdyż jeden z jej aksjomatów wymaga wyróżnienia elementu pełniącego rolę elementu neutralnego.
  3. W obu przypadkach można użyć działań o dowolnym module, a nawet standardowych działań arytmetycznych.
  4. Ogólniej: dowolnym ciałem.
  5. Grupa permutacji (nazywana też grupą bijekcji lub grupą symetryczną) jest tożsama z grupą alternującą oraz grupą diedralną (przy założeniu konstrukcji na wychodzącej od grup przekształceń).
  6. Zob. grupa wolna.