Grupa wolna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa wolnagrupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak , gdzie należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Definicja formalna[edytuj]

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór taki, że każde przekształcenie w dowolną grupę można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu .

Można udowodnić, że każdy taki zbiór musi być układem generatorów grupy , tzn. nie ma podgrupy spełniącej i .

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór . Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

Własności[edytuj]

  • Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
  • Każda grupa jest obrazem ustalonego homomorfizmu pewnej grupy wolnej .
  • Jeżeli , to obraz układu wolnych generatorów grupy tworzy układ generatorów grupy .
  • Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że , gdzie są generatorami ( oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę .
  • Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

Przykłady[edytuj]

  • Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
  • Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter w których nie występują pary Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.:
    • czyli ciąg pusty.
tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: . Elementem odwrotnym do jest ; odwrotnym do jest . Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter oraz . Elementem neutralnym - ciąg pusty.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notations of Algebra. Springer, s. 134.