Grupa wolna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa wolnagrupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak st^{-1} = su^{-1}ut^{-1}, gdzie s, t, u należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę F nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór X \subseteq F\, taki, że każde przekształcenie X\, w dowolną grupę G\, można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu f\colon F \to G\,.

Można udowodnić, że każdy taki zbiór X\, musi być układem generatorów grupy F\,, tzn. nie ma podgrupy F' \subseteq F\, spełniącej X \subseteq F'\, i F' \ne F\,.

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór X\,. Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
  • Każda grupa G\, jest obrazem ustalonego homomorfizmu h\, pewnej grupy wolnej F\,.
  • Jeżeli H = \ker h\,, to obraz układu wolnych generatorów grupy F\, tworzy układ generatorów grupy G\,.
  • Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że f(k) = e\,, gdzie k \in H\, są generatorami H\, (e\, oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę G\,.
  • Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
  • Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter l, p, L, P \, w których nie występują pary [l,p], [p,l], [L,P], [P,L]\;. Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.:
    • llPl*Pl=llPlPl\;
    • llPl*lPl=llPllPl\;
    • llPp*lP=llPP\;
    • llPl*pL=ll\;
    • llPl*pLpp=\varnothing czyli ciąg pusty.
tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: \{l ,L\} . Elementem odwrotnym do l jast p; odwrotnym do L jest P. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter \langle l,\ p\rangle oraz \langle L,\ P\rangle. Elementem neutralnym - ciąg pusty.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notations of Algebra. Springer, s. 134.