Grupa z operatorami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa z operatorami lub -grupastruktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeniach o izomorfizmie.

Definicja[edytuj]

Grupa z operatorami to grupa z rodziną funkcji :

,

które są rozdzielne względem działania grupowego. nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami .

Obraz elementu grupy przy funkcji oznacza się . Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

.

Podgrupa grupy nazywana jest podgrupą stabilną, -podgrupą lub podgrupą -niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

Uwagi teoriokategoryjne[edytuj]

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów , gdzie jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

,

gdzie jest zbiorem endomorfizmów grupowych .

Przykłady[edytuj]

  • Dla danej grupy struktura jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
  • Dla danego -modułu grupa działa na dziedzinie operatorów przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.