Grupoid

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupoid (rzadziej magma) – zbiór z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją

[1].

Zazwyczaj zamiast stosuje się notację multiplikatywną lub po prostu rzadziej notację addytywną Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generujące[edytuj | edytuj kod]

Niepusty podzbiór grupoidu nazywany jest podgrupoidem grupoidu jeśli z i wynika, że

Jeśli jest podzbiorem grupoidu to część wspólna wszystkich podgrupoidów zawierających jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu zawierającym zbiór grupoid ten nazywany jest podgrupiodem grupoidu generowanym przez i oznaczany czasem przez symbol Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem dodawania zbiorem generującym jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia zbiorem generującym jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoidu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest grupoidem, to moc zbioru nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoidu[edytuj | edytuj kod]

W grupoidzie element nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego spełniona jest równość Jeśli grupoid zawiera zarówno lewostronny element neutralny jak i prawostronny element neutralny to bo Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

  1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
  2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
  3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
  4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoidu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli i są podzbiorami grupoidu to ich iloczynem nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci gdzie Jeśli to iloczyn zapisujemy (odpowiednio ).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu nazywamy taki niepusty podzbiór zbioru że Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli jest niepustym podzbiorem grupoidu to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez

Homomorfizm grupoidów[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie gdzie i są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • grupa
  • półgrupa
  • monoid,
  • quasi-grupa
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania, tzn. gdzie
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
  • A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.