Grupoid

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupoid (rzad. magma) – zbiór G z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją

[1].

Zazwyczaj zamiast stosuje się notację multyplikatywną lub po prostu , rzadziej notację addytywną Działanie opisywane notacją multyplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną - dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą , której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generujące[edytuj]

Niepusty podzbiór P grupoidu G nazywany jest podgrupoidem grupoidu G, jeśli z i wynika, że

.

Jeśli A jest podzbiorem grupoidu G, to część wspólna wszystkich podgrupoidów G zawierających A jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu G zawierającym zbiór A; grupoid ten nazywany jest podgrupiodem grupoidu G generowanym przez Ai oznaczany czasem przez symbol . Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem dodawania zbiorem generującym jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia zbiorem generującym jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoidu[edytuj]

Jeśli G jest grupoidem, to moc |G| zbioru G nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń}, też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoidu[edytuj]

W grupoidzie G element e (f) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego spełniona jest równość ex = x (xf = x). Jeśli grupoid G zawiera zarówno lewostronny element neutralny e, jak i prawostronny element neutralny f, to e = f, bo e = ef = f. Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

  1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
  2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
  3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
  4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoidu[edytuj]

Jeśli A i B są podzbiorami grupoidu G, to ich iloczynem AB nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci ab, gdzie . Jeśli A = {a} (B = {b}), to iloczyn AB zapisujemy aB (odpowiednio Ab).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu G nazywamy taki niepusty podzbiór A zbioru G, że . Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu G nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid G nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli G jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli A jest niepustym podzbiorem grupoidu G, to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających A nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez A.

Homomorfizm grupoidów[edytuj]

Odwzorowanie , gdzie i są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

Przykłady[edytuj]

  • Grupa,
  • Półgrupa,
  • Monoid,
  • Quasi-grupa
  • Zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania tzn. , gdzie .
  • Zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania.
  • Zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

Przypisy

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.

Bibliografia[edytuj]

  • A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
  • A. G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.