Gęstość prądu elektrycznego

Gęstość prądu – intuicyjnie jest to wielkość fizyczna określająca natężenie prądu elektrycznego przypadającego na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.

Gęstość prądu wyrażana jest w amperach na metr kwadratowy (A/m²). W praktyce stosuje się na ogół wygodniejsze jednostki: A/cm² i A/mm².

W przewodniku

Gęstość prądu w przewodniku definiuje się jako stosunek natężenia prądu do pola przekroju poprzecznego przewodnika:

$J={\frac {I}{S}}$

gdzie:

$I$ – natężenie prądu płynącego przez przewodnik,

$S$ – pole przekroju poprzecznego przewodnika.

Ujęcie to ma zastosowanie w większości zagadnień z dziedziny elektrotechniki i elektroniki, rozważanych w odniesieniu do obwodów elektrycznych, gdyż opisuje przepływ prądu jako wielkość uśrednioną.

Opis taki wystarcza, gdy prąd płynie względnie długim i cienkim przewodnikiem o stałym przekroju (np. drut lub ścieżka obwodu drukowanego), a przy tym częstotliwość zmian prądu nie jest zbyt duża. W przypadku prądu płynącego przez obszary o szerokości porównywalnej bądź większej od długości, charakter przepływu w różnych przekrojach może się zmieniać, więc wartość uśredniona traci sens. Również przy bardzo wysokich częstotliwościach wartość uśredniona przestaje poprawnie opisywać przepływ, gdyż nie obejmuje zjawiska naskórkowości. W takich przypadkach stosuje się opis mikroskopowy.

W ośrodkach ciągłych

W ośrodkach ciągłych, gęstość prądu jest wektorem zdefiniowanym w każdym punkcie przestrzeni w taki sposób, że jego kierunek i zwrot wskazują kierunek przepływu ładunku w danym punkcie, zaś wartość wyraża stosunek natężenia prądu do znikomo małego elementu powierzchni prostopadłej do tego wektora (przekroju prostopadłego do przepływu prądu w danym punkcie i chwili).

Dla ośrodków ciągłych prawo Ohma opisuje związek gęstości prądu z natężeniem pola elektrycznego wzorem:

${\vec {j}}={\hat {\sigma }}{\vec {E}},$

gdzie:

${\vec {j}}$ – wektor gęstości prądu,

${\hat {\sigma }}$ – tensor przewodnictwa elektrycznego,

${\vec {E}}$ – wektor natężenia pola elektrycznego.

Definicja ta ma zastosowanie w opisie przepływu prądu niejednorodnego w przestrzeni, np.: w fizyce plazmy, cieczy przewodzących prąd, w cienkich warstwach elektronicznych elementów półprzewodnikowych (tranzystory, tyrystory i in., również w elementach układów scalonych) oraz w zjawiskach przejściowych szybko zmiennych w czasie, np. podczas włączania i wyłączania przepływu prądu w takich elementach.

Związki z ładunkiem

Całka powierzchniowa gęstości prądu po dowolnej powierzchni $S$ wyraża sumaryczne natężenie prądu $I_{S}$ płynącego przez tę powierzchnię:

$\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {s}}=I_{S},$

gdzie:

$d{\vec {s}}$ – wektor powierzchni znikomo małego elementu powierzchni $dS,$

${\vec {j}}\cdot d{\vec {s}}$ – iloczyn skalarny wektorów ${\vec {j}}$ i $d{\vec {s}}.$

W przypadku powierzchni zamkniętej, ograniczającej pewną bryłę $V,$ natężenie prądu wypływającego przez powierzchnię równe jest pochodnej sumarycznego ładunku $Q_{V}$ zamkniętego w objętości $V,$ wziętej z przeciwnym znakiem (wypływający prąd zmniejsza „zapas ładunku”):

$I_{S}=-\,{\frac {d\,Q_{V}}{dt}}$

Jest to zasada zachowania ładunku:

ładunek w danym obszarze nie może samoistnie powstać ani nie może zniknąć; zmiana ładunku wynika wyłącznie z jego przemieszczania, to jest prądu elektrycznego, wypływającego lub wpływającego do obszaru,

którą można odczytać również jako definicję natężenia prądu (z wyraźnym uwzględnieniem kierunku przepływu prądu).

Zachodzi zatem:

$\oint \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {s}}=-{\frac {d\,Q_{V}}{dt}},$

gdzie:

$d{\vec {s}}$ – wektor skierowany na zewnątrz powierzchni $S.$

Równanie to można stronami podzielić przez objętość $V$ i „ściągając” powierzchnię $S$ do punktu przeprowadzić równanie do granicy z $V\to 0.$ Otrzymuje się wówczas częściej spotykaną postać różniczkową, czyli tzw. równanie ciągłości, zgodnie z którym rozbieżność (dywergencja) wektora gęstości prądu jest równa pochodnej gęstości ładunku wziętej z przeciwnym znakiem:

$\nabla \cdot {\vec {j}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},$

gdzie:

$\rho$ – gęstość ładunku.