H-kwadrat

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

H-kwadrat, H2 – termin w matematyce i teorii sterowania odnoszący się do przestrzeni Hardy'ego z normą kwadratową. Jest to podprzesztrzeń przestrzeni L2 i dlatego jest przestrzenią Hilberta. W szczególności jest przestrzenią Hilberta reprodukującą jądro.

Na okręgu jednostkowym[edytuj | edytuj kod]

W ogólności, elementy L2 na okręgu jednostkowym są dane przez

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{in\varphi},

podczas gdy elementy H2 są dane wyrażeniem

\sum_{n=0}^\infty a_n e^{in\varphi}.

Projekcja z L2 do H2 (poprzez podstawienie a_n = 0, gdy n < 0) jest ortogonalna.

Na półpłaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

Transformata Laplace'a \mathcal{L} dana wyrażeniem:

[\mathcal{L}f](s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt

może być rozumiana jako operator liniowy

\mathcal{L}:L^2(0,\infty)\to 
H^2\left(\mathbb{C}^+\right),

gdzie L^2(0,\infty) jest zbiorem funkcji całkowalnych z kwadratem, określonych na osi dodatnich liczb rzeczywistych, a \mathbb{C}^+ jest prawą półpłaszczyzną płaszczyzny zespolonej. Co więcej, jest to izomorfizm, przy tym odwracalny, izometryczny i spełniający:

\|\mathcal{L}f\|_{H^2} = \sqrt{2\pi} \|f\|_{L^2}.

Transformata Laplace'a jest połową transformaty Fouriera; z dekompozycji

L^2(\mathbb{R})=L^2(-\infty,0) \oplus L^2(0,\infty)

otrzymuje się dekompozycję ortogonalną L^2(\mathbb{R}) do dwóch przestrzeni Hardy'ego.

L^2(\mathbb{R})=
H^2\left(\mathbb{C}^-\right) \oplus
H^2\left(\mathbb{C}^+\right).

Jest to w istocie twierdzenie Paley-Wienera.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]