H-kwadrat

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

H-kwadrat, H2 – termin w matematyce i teorii sterowania odnoszący się do przestrzeni Hardy'ego z normą kwadratową. Jest to podprzesztrzeń przestrzeni L2 i dlatego jest przestrzenią Hilberta. W szczególności jest przestrzenią Hilberta reprodukującą jądro.

Na okręgu jednostkowym[edytuj]

W ogólności, elementy L2 na okręgu jednostkowym są dane przez

,

podczas gdy elementy H2 są dane wyrażeniem

.

Projekcja z L2 do H2 (poprzez podstawienie , gdy ) jest ortogonalna.

Na półpłaszczyźnie[edytuj]

Transformata Laplace'a dana wyrażeniem:

może być rozumiana jako operator liniowy

,

gdzie jest zbiorem funkcji całkowalnych z kwadratem, określonych na osi dodatnich liczb rzeczywistych, a jest prawą półpłaszczyzną płaszczyzny zespolonej. Co więcej, jest to izomorfizm, przy tym odwracalny, izometryczny i spełniający:

Transformata Laplace'a jest połową transformaty Fouriera; z dekompozycji

otrzymuje się dekompozycję ortogonalną do dwóch przestrzeni Hardy'ego.

Jest to w istocie twierdzenie Paley-Wienera.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]