Największy sukces w karierze Hedy Schlunegger osiągnęła w 1948 roku, kiedy zwyciężyła w zjeździe podczas igrzysk olimpijskich w Sankt Moritz. W zawodach tych wyprzedziła o 0,8 sekundy AustriaczkęTrude Beiser oraz o 1,9 sekundy jej rodaczkę, Resi Hammerer. Zjazd kobiet rozgrywano na igrzyskach po raz pierwszy w historii, Szwajcarka została tym samym pierwszą mistrzynią olimpijską w tej konkurencji. Na tych samych igrzyskach zajęła także ósme miejsce w kombinacji, tracąc do podium 3,16 punktu. Ponadto w tym samym roku wywalczyła drugie miejsce w zjeździe na zawodach SDS-Rennen w Grindelwald. Schlunegger była również siedmiokrotną mistrzynią Szwajcarii: w latach 1943, 1946 i 1947 wygrywała w kombinacji, a w latach 1942, 1944, 1946 oraz 1947 była najlepsza w biegu zjazdowym.
W 1949 roku wyszła za mąż i wkrótce zakończyła karierę. Wspólnie z mężem prowadziła sklep sportowy w Grindelwald.
Jej brat, Hans Schlunegger, córki: Elizabeth i Käthy oraz wnuczka, Martina Schild również uprawiali narciarstwo alpejskie.