Hesjan obrzeżony

Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.

Przypadek ogólny

Mamy daną funkcję: $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$

W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange’a:

Warunek przekształcamy do postaci

g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0.

Następnie tworzymy funkcję

L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+\lambda \cdot g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).

Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:

{\begin{bmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\[1ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\\[1ex]\end{bmatrix}}.

Definiujemy

H_{k}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{k}}}\\[1ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}^{2}}}\\[1ex]\end{vmatrix}}

dla

k=2,3,\dots ,n.

Uwaga: $H_{k}$ jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach $(k+1)\times (k+1).$

Wtedy, jeśli w danym punkcie $x_{0}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego $(\forall _{i=1,2,...,n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0\wedge {\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=0),$ prawdziwe są twierdzenia:

Jeśli $\forall _{k=2,3,\dots ,n}\quad H_{k}(x_{0};\lambda )<0,$ to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie $x_{0}.$

Jeśli $\forall _{k=2,3\dots ,n}\quad (-1)^{k+1}H_{k}(x_{0};\lambda )<0$ ^[1], to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie $x_{0}.$

Funkcja dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$ wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:

H={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y^{2}}}\\[1ex]\end{vmatrix}}.

Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie $(x_{0},y_{0}),$ gdy $H(x_{0},y_{0};\lambda )>0.$
Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie $(x_{0},y_{0}),$ gdy $H(x_{0},y_{0};\lambda )<0.$
Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy $H(x_{0},y_{0};\lambda )=0.$ Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.