Hipersfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym
Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna[edytuj]

Dla dowolnej liczby naturalnej n, hipersfera o promieniu r jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1) wymiarowej, które znajdują się w odległości r od wybranego punktu środkowego c, gdzie r jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a c to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka
  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie
  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej
  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Sn. Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1)-wymiarowej. Dla n ≥ 2, hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne[edytuj]

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej (x1,x1,x2,…,xn+1), który tworzy hipersferę opisuje równanie

gdzie c to punkt środkowy, a r to promień.

Hiperkula[edytuj]

 Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek
  • hiperkula 2-wymiarowa to koło
  • hiperkula 3-wymiarowa to kula

Rozmiar[edytuj]

Objętość wnętrza[edytuj]

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue'a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n-1)-wymiarową o promieniu , który jest hiperkulą n-wymiarową, ma postać:

gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

w którym to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

i nieparzystych

Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
0 1,00000 Punkt
1 2,00000 Długość odcinka
2 3,14159 Pole koła
3 4,18879 Objętość kuli
4 4,93480  
5 5,26379  
6 5,16771  
7 4,72478  
8 4,05871  

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n > 5, rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

Powierzchnia[edytuj]

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n-1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n-wymiarowej względem promienia

gdzie , podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n-1
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
-1  0,00000
0  2,00000 Liczba punktów tworzących sferę
1  6,28318 Długość okręgu
2 12,56637 Powierzchnia kuli
3 19,73920  
4 26,31894  
5 31,00627  
6 33,07336  
7 32,46969  

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n > 6 ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

Wymiary ułamkowe[edytuj]

 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na Sn i Vn można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych n ≥ 0, w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy n nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni x-wymiarowej jako funkcja ciągła x
Powierzchnia jednostkowej sfery (x–1)-wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli x-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne[edytuj]

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień i (n-1) współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale , a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale .

Jeśli przez oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]