Hipersfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym
Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1)-wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka,
  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie,
  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej,
  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1)-wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej który tworzy hipersferę opisuje równanie

gdzie:

– punkt środkowy,
– promień.

Hiperkula[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
  • hiperkula 2-wymiarowa to koło,
  • hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar[edytuj | edytuj kod]

Objętość wnętrza[edytuj | edytuj kod]

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n–1)-wymiarową o promieniu który jest hiperkulą n-wymiarową, ma postać:

gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

w którym to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

i nieparzystych

Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
0 1,00000 Punkt
1 2,00000 Długość odcinka
2 3,14159 Pole koła
3 4,18879 Objętość kuli
4 4,93480  
5 5,26379  
6 5,16771  
7 4,72478  
8 4,05871  

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n > 5, rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

Powierzchnia[edytuj | edytuj kod]

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n–1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n-wymiarowej względem promienia

gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n-1
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
-1  0,00000
0  2,00000 Liczba punktów tworzących sferę
1  6,28318 Długość okręgu
2 12,56637 Powierzchnia kuli
3 19,73920
4 26,31894
5 31,00627
6 33,07336
7 32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

Wymiary ułamkowe[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni x-wymiarowej jako funkcja ciągła x
Powierzchnia jednostkowej sfery (x–1)-wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli x-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne[edytuj | edytuj kod]

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale

Jeśli przez oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]