Hipoteza Pólyi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Hipoteza Pólyimatematyczna hipoteza, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.

Hipoteza[edytuj | edytuj kod]

Suma wartości funkcji Liouville’a do
Suma wartości funkcji Liouville’a do

Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego podzielimy liczby naturalne mniejsze od na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy, na przykład: 24 = 2³ · 31 ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.

Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville’a, hipotezę tę można zapisać jako

dla wszystkich gdzie ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych jest parzysta, a −1 gdy jest nieparzysta.

Obalenie[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on że istnieje kontrprzykład, rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 · 10361. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.

Dokładny kontrprzykład równy został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący podał Minoru Tanaka w 1980 roku.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.