Hipoteza Riemanna

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t

Odcinek podkastu Nauka XXI wieku

Hipoteza Riemanna – hipoteza dotycząca funkcji dzeta Riemanna. Hipoteza ta mówi, że wszystkie nietrywialne – tj. nierzeczywiste – miejsca zerowe tej funkcji mają część rzeczywistą równą ${\frac {1}{2}}$. Podał ją niemiecki matematyk Bernhard Riemann w 1859 roku

Hipoteza Riemanna pozostaje jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce. Ma ona duże znaczenie dla teorii liczb, statystyki i fizyki. Jest ósmym problemem na liście problemów Hilberta. Jest też jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych w 2000 roku przez Instytut Matematyczny Claya, który ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za podanie dowodu lub obalenie tej hipotezy.

Sformułowanie hipotezy

Dla liczb zespolonych $s$ spełniających warunek $\operatorname {Re} s>1$ funkcja dzeta określona jest wzorem:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu $s=1$, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Wtedy funkcja dzeta spełnia równanie funkcyjne:

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),$

gdzie $\mathrm {\Gamma } (s)$ reprezentuje funkcję gamma. Dzięki temu rozszerzeniu funkcja dzeta ma trywialne miejsca zerowe dla $s=-2,-4,-6,...$, wynikające z zerowania się funkcji sinus.
(Uwaga: dla $s=2,4,6,...$ stosuje się pierwotną postać szeregu zbieżnego w tym przypadku do od lat znanych wartości (różnych od zera) pokazanych choćby przez Eulera).
Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$, zwanej prostą krytyczną. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey, 1989).

Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n), będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

$\pi (n)=\mathrm {Li} (n)+O\left({\sqrt {n}}\ln n\right)$

gdzie $\mathrm {Li} (n)$ oznacza resztę z logarytmu całkowego, a do zapisu użyto tzw. dużego O.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Tomasz Miller, Królowa hipotez, „Tygodnik Powszechny”, tygodnikpowszechny.pl, 24 grudnia 2018 [dostęp 2026-02-23].

Nagrania na YouTube [dostęp 2025-05-12]:

• Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus” , 15 listopada 2018.
• Paweł Strzelecki, Hipoteza Riemanna, seria: Maraton wykładowy z „Deltą”, kanał „Wszechnica FWW”, 9 marca 2021.
• Tomasz Rożek, Ten matematyczny problem przyprawia o szaleństwo – hipoteza Riemanna, kanał „Nauka. To Lubię”, 8 maja 2025.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Riemann hypotheses (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-18].
• Alex Kontorovich, The Riemann Hypothesis, Explained, kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2023-06-08].