Hipoteza geometryzacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
William Thurston

Hipoteza geometryzacyjna Thurstonahipoteza topologiczna, wysunięta przez amerykańskiego matematyka Williama Thurstona[1]. Hipoteza została potwierdzona w 2006 przez rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana[2].

Historia[edytuj | edytuj kod]

Henri Poincaré

W 1904 Henri Poincaré wysnuł przypuszczenie, że jeśli na zwartej rozmaitości trójwymiarowej (bez brzegu) każda krzywa zamknięta może zostać w sposób ciągły zdeformowana do punktu, to jest homeomorficzna ze sferą Przypuszczenie to jest znane jako hipoteza Poincarégo i przez prawie sto lat nie udawało się jej dowieść ani obalić. Była jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych w 2000 roku przez Instytut Matematyczny Claya (za rozwiązanie każdego z nich wyznaczono milion dolarów nagrody).

Pod koniec lat 70. XX wieku Thurston wysunął hipotezę, że każdą rozmaitość trójwymiarową można rozciąć (dwuwymiarowymi cięciami wzdłuż sfer lub torusów) na skończoną liczbę części, z których każdą można wyposażyć w jedną z modelowych geometrii. W wymiarze 2 przykładami takich operacji mogą być zwykła płaszczyzna, sfera czy płaszczyzna Łobaczewskiego. Thurston wykazał, że w wymiarze 3 takich modelowych geometrii jest dokładnie osiem, a hipoteza Poincarégo jest szczególnym przypadkiem jego hipotezy (nazwanej geometryzacyjną)[3]. Za postawienie tej hipotezy i próby jej udowodnienia Thurston otrzymał medal Fieldsa na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Warszawie w 1983 roku[1].

Hipoteza[edytuj | edytuj kod]

Hipotezę geometryzacyjną można sformułować na dwa równorzędne sposoby[2]:

  • topologiczny

Każda zamknięta orientowalna 3-wymiarowa rozmaitość da się jednoznacznie rozciąć wzdłuż 2-sfer i 2-torusów tak, że powstałe kawałki są albo rozmaitościami Seiferta, albo zupełnymi rozmaitościami hiperbolicznymi

  • geometryczny

Każda zamknięta, pierwsza, orientowalna trzywymiarowa rozmaitość M zawiera rozłączną rodzinę dwuwymiarowych torusów i butelek Kleina tak, że każda spójna składowa ich dopełnienia posiada lokalnie jednorodną metrykę riemannowską skończonej objętości

Potwierdzenie hipotezy[edytuj | edytuj kod]

Grigorij Perelman

11 listopada 2002 Perelman, który rozważał wariant geometryczny hipotezy[2], opublikował w serwisie arXiv 40-stronicową pracę „Formuła entropii dla potoku Ricciego i jej zastosowania geometryczne”, której czwartą stronę kończyło zdanie: „Wreszcie, w rozdziale 13, podajemy krótki szkic dowodu hipotezy geometryzacyjnej.”. 10 marca 2003 udostępnił drugą pracę „Potok Ricciego z chirurgią na rozmaitościach trójwymiarowych”, w której ów szkic dowodu został opisany w formie znacznie dokładnej[3]. Jego prace zostały zweryfikowane w 2006 roku. Magazyn Science przyznał ostatecznemu rozstrzygnięciu hipotezy miano naukowego wydarzenia roku 2006[4][5], a na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 2006 w Madrycie, Perelman został jednym z laureatów medalu Fieldsa[6].

Ponieważ udowodnienie hipotezy geometryzacyjnej automatycznie potwierdziło przypadek szczególny, jakim była hipoteza Poincarégo, to w 2010 Instytut Matematyczny Claya przyznał Perelmanowi nagrodę 1 mln USD za rozwiązanie problemu millenijnego. Perelman nie przyjął żadnej z obu nagród[6][7].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Zdzisław Pogoda: William Thurston i hipoteza geometryzacyjna. deltami.edu.pl, 2013-01. [dostęp 2019-08-11].
  2. a b c Józef H. Przytycki. Grigorij Perelman, hipoteza Poincar ́ego i odrzucony medal Fieldsa. „Wiadomości Matematyczne”. 46 (1), s. 53, 2010. Polskie Towarzystwo Matematyczne. 
  3. a b Paweł Strzelecki: Hipoteza Poincarégo. deltami.edu.pl, 2004-01. [dostęp 2019-08-11].
  4. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać D. Mackenzie. Breakthrough of the year. The Poincaré conjecture-proved. „Science”. 314 (5807), s. 1848–1849, 2006. DOI: 10.1126/science.314.5807.1848. PMID: 17185565. 
  5. Największe wydarzenia naukowe 2006 wg Science, www.biotechnolog.pl [dostęp 2019-08-11] (pol.).
  6. a b Russian spurns most coveted maths award - World news. „The Guardian”. [dostęp 2019-08-11]. 
  7. Grigory Perelman Biography (ang.). notablebiographies.com. [dostęp 2019-08-11].