Homeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania.

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie – przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów, także nie zmienia wymiaru figury (np. zabronione jest ściągnięcie krzywej do punktu). Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość, spoistość, wymiar.

Ściślej: jest to bijekcja między dwiema przestrzeniami topologicznymi obustronnie ciągła.

Definicja homeomorfizmu[edytuj]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję nazywa się homeomorfizmem, gdy:

  1. jest funkcją różnowartościową,
  2. , czyli jest funkcją "na",
  3. jest funkcją ciągłą,
  4. jest funkcją ciągłą.

Homeomorfizmy są więc ciągłymi bijekcjami, których funkcja odwrotna jest również ciągła.

Uwaga:

Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Np. niech będzie okręgiem jednostkowym w i rozważmy funkcję taką, że . Funkcja jest ciągła i bijektywna. Jednak funkcja nie jest ciągła w punkcie : , ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt nie "zmieści się" w np. otoczeniu punktu .

Homeomorfizm a homotopia[edytuj]

Homeomorfizm różni się od homotopii tym, że ta ostatnia wymaga istnienia ciągłego przejścia między dwiema przestrzeniami topologicznymi, zaś dla istnienia homeomorfizmu wystarczy, że istnieje funkcja, przekształcająca jedną przestrzeń w drugą. Animacja pokazana u góry strony jest de facto homotopią.

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu homeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Deformacja ta jest funkcją klasy - tzn. jest ciągła i jej pochodna jest ciągła - jest to dyfeomorfizmem. (Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć, choć byłby to homeomorfizm). Homeomorfizm ten implikuje istnienie homotopii, gdyż można w sposób ciągły przejść od pierwotnej siatki do zniekształconej. Homeomorfizm ten nie jest izometrią, gdyż odległości punktów pierwotnej siatki ulegają zmianie.

Przykłady:

1) Istnieje homeomorfizm między torusem a węzłem, ale nie istnieje homotopia między nimi (bo nie da się przekształcić węzła w torus w sposób analogiczny, jak w torus przekształcić można kubek).

2) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem; istnieje ciągłe przejście od płaskiej kartki do zwiniętej - jest to homotopia.

3) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem; proces przekształcania jest homotopią.

Homeomorfizm a dyfeomorfizm[edytuj]

Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm. Homeomorfizm nie musi mieć ciągłej pochodnej, dyfeomorfizm zaś jest homeomorfizmem, a przy tym wszystkie jego pochodne muszą być ciągłe.

Homeomorfizm jest więc najogólniejszą klasą przekształceń ciągłych, jakie istnieją między przestrzeniami topologicznymi. Dla istnienia homeomorfizmu wymagane jest, by przekształcenie było conamniej klasy ciągłości .

Przykład:

Może przekształcać torus (rozmaitość o gładkiej powierzchni) w kubek (rozmaitość o powierzchniach z zagięciami). Przekształcenie takie jest homeomorfizmem, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż w punktach zagięć pochodna ma nieciągłość, np. pochodna liczona wzdłuż krzywej przechodzącej przez zagięcie. Dlatego też homeomorfizm torusa w kubek nie ma w każdym punkcie ciągłej pochodnej.

Homeomorfizm a izometria[edytuj]

Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykłady:

1) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem. Jednocześnie jest to izomorfizm, gdyż odległości miedzy punktami rulona - mierzone wzdłuż linii leżących na rulonie - są identyczne jak w rozwiniętej kartce.

2) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, ale nie jest izometrią.

Twierdzenia o homeomorfizmach[edytuj]

Wprost z definicji homeomorfizmu wynikają twierdzenia:

  • Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
  • Funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest homeomorfizmem.
  • Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

Definicja przestrzeni homeomorficznych[edytuj]

Przestrzenie topologiczne oraz nazywamy przestrzeniami homeomorficznymi, jeżeli istnieje homeomorfizm ( lub ). Jeśli taki homeomorfizm nie istnieje, to o przestrzeniach mówimy, że nie są homeomorficzne.

Uwaga:

Aby dowieść, że dwie przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, wystarczy wskazać (skonstruować) chociaż jeden homeomorfizm (w ogólności może ich być wiele). Można też nie konstruować jawnie homeomorfizmu, ale oprzeć się na twierdzeniu dotyczącym niezmienników topologicznych (patrz niżej).

Niezmienniki topologiczne[edytuj]

Niezmienniki topologiczne - to własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Przestrzenie homeomorficzne są z punktu widzenia topologii nierozróżnialne.

Do niezmienników należą m.in. domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość, spójność, charakterystyka Eulera.

Niezmienniki służą jako narzędzie do badania rozmaitości topologicznych. Np.

  • jeżeli rozmaitości mają różne charakterystyki Eulera, to są topologicznie różne,
  • jeżeli rozmaitości mają taką samą charakterystykę Eulera, to nie przesądza, czy są identyczne czy nie (np. butelka Kleina i wstęga Möbiusa mają charakterystykę Eulera równą 0, ale ne są równoważne topologicznie).

To samo można powiedzieć od innych niezmiennikach.

Twierdzenia o przestrzeniach homeomorficznych[edytuj]

Tw. 1 Dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeżeli mają wszystkie takie same niezmienniki topologiczne.

Tw. 2 Dwie przestrzenie są nie są homeomorficzne, jeżeli różnią się przynajmniej jednym niezmiennikiem topologicznym.

Twierdzenie 2 pozwala stwierdzić, iż dwie przestrzenie nie są homeomorficzne, przez wskazanie jakim niezmiennikiem różnią się. Np. sfera nie jest homeomorficzna z torusem, bo niezmiennik Eulera dla sfery wynosi 2, a dla torusa 0 [a].

Przykłady przestrzeni homeomorficznych[edytuj]

  1. Okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną.
  2. Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem).
    Dowód Niech między odcinkiem i okręgiem istnieje pewien homeomorfizm. Ustalamy dowolny punkt z wnętrza odcinka i obetnijmy dziedzinę tej funkcji o ten punkt. Obcięta funkcja jest dalej bijekcją ciągłą obustronnie. Jest więc homeomorfizmem. Ale odcinek z usuniętym punktem jest niespójny, okrąg z usuniętym obrazem tego punktu jest dalej spójny, wbrew temu, że homeomorfizmem zachowuje spójność/niespójność. Stąd wskazana funkcja ne jest homeomorfizmem, cnd.
    Uwaga Jeśli odcinek jest obustronnie lub jednostronnie otwarty, to można skorzystać z własności, że homeomorfizm zachowuje zwartość, z czego wynika, iż taki odcinek nie może być homeomorficzny z okręgiem, który jest zwarty.
  3. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
  4. Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
  5. Dowolny odcinek otwarty jest homeomorficzny z całą prostą.
  6. Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu.
  7. Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa.
  8. Żaden odcinek jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem obustronnie otwartym ani obustronnie domkniętym.

Własności 1-6 dowodzi się np. w oparciu o Tw. 1 o przestrzeniach homeomorficznych.

Własności 7, 8 dowodzi się np. w oparciu o Tw. 2 o przestrzeniach homeomorficznych.

Uwagaː

Intuicyjnie można sprawdzić, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne, próbując (lub wyobrażając sobie) deformować jedną figurę tak, by otrzymać drugą. Deformacje zachowują niezmienniki topologiczne, dlatego istnienie takiej deformacji jest jednoznaczne z istnieniem homeomorfizmu, a jej brak - z brakiem homeomorfizmu (zobacz animację u góry strony).

Np. Sferę można zdeformować w wielościan. Ale nie da się sfery zdeformować w torus.

Zanurzenie homeomorficzne[edytuj]

Zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni w przestrzeń nazywa się homeomorfizm przestrzeni z podprzestrzenią przestrzeni .

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni w , to mówi się, że jest zanurzalna w .

Przykładː

Okrąg (lub inną krzywą zamkniętą) można "zanurzyć" w dowolną powierzchnię 2-wymiarową poprzez rzutowanie go tak, by rzut był krzywą zamkniętą w postaci pojedynczej "pętli". Taki rzut jest homeomorfizmem .

Sprzężenie topologiczne homeomorfizmów[edytuj]

Dwa homeomorfizmy nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm , że

Typ topologiczny[edytuj]

W dowolnej rodzinie przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności między dowolnymi dwiema przestrzeniami topologicznymi tej rodziny jest relacją równoważności, dzieląc rodzinę na rozłączne podzbiory

Klasę abstrakcji tej relacji nazywa się typem topologicznym.

Przykład - typy topologiczne[edytuj]

Zbiór liter i cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, L, Ł, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) stanowi rodzinę przestrzeni topologicznych; każda litera stanowi inną przestrzeń topologiczną. Zbiór ten można podzielić na podzbiory - typy topologiczneː

  • 1, 2, 3, 5, 7, I, C, G, J, L, M, N, S, U, V, W, Z - 1 gałąź
  • E, F, T, Y - 3 gałęzie
  • Ł, X - 4 gałęzie
  • H - 5 gałęzi
  • O, D - 0 gałęzi, 1 pętla
  • 8 - 0 gałęzi, 2 pętle, 1 wierzchołek
  • B - 0 gałęzi, 2 pętle, 2 wierzchołki
  • P, 6, 9 - 1 gałąź, 1 pętla
  • Q, 4 - 2 gałęzie, 1 pętla, 1 wierzchołek
  • A, R - 2 gałęzie, 1 pętla, 2 wierzchołki

Każdą z liter danego typu można przekształcić w inną literę tego samego typu przez odpowiednie wyginanie i wyciąganie, np. wyginając I uzyskamy C, G, J, itd. Natomiast nie da się za pomocą takiego przekształcenia dokonać przejścia od I do E, itd. Każda z operacji przekształcania jednej litery w inną w danym typie jest homeomorfizmem. Homeomorfizmy zachowują niezmienniki topologiczne - dlatego za ich pomocą otrzymuje się litery tego samego typu.

Uwagaː Litery i cyfry traktujemy tu jako krzywe jednowymiarowe - grafy. Gdyby traktować je jako wycinki powierzchni (np. wykonane z elastycznego materiału), to podział byłby inny, np. I dałoby się przekształcić w E przez odpowiednie rozciąganie.

Zobacz też[edytuj]

Inne rodzaje odwzorowańː

Na temat niezmienników topologicznychː

Bibliografia[edytuj]

  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.
  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

Uwagi

  1. Dokładniej omówiono różnice topologiczne sfery i torusa w artykule Rozmaitość, w punkcie Charakterystyka Eulera – własność topologiczna. Podano tam praktyczne ćwiczenia, wielce pomocne do nabycia głębszego zrozumienia pojęć topologicznych.