Homeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie – przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Definicja[edytuj]

Niech (X, \tau_X)\, oraz (Y, \tau_Y)\, będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję f\colon X \to Y nazywa się homeomorfizmem, gdy:

  1. f\, jest funkcją różnowartościową,
  2. f(X) = Y\,, czyli f\, jest funkcją "na",
  3. f\, jest funkcją ciągłą,
  4. f^{-1}\colon Y \to X jest funkcją ciągłą.

Mówi się, że przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, jeżeli istnieje pomiędzy nimi homeomorfizm. Homeomorfizmy są więc ciągłymi bijekcjami, których funkcja odwrotna jest również ciągła.

Uwaga Założenie ciągłości funkcji odwrotnej jest konieczne, ponieważ funkcja odwrotna do ciągłej bijekcji może nie być ciągła. Rzeczywiście:

Niech S^1 będzie okręgiem jednostkowym w \mathbb{R}^2. Rozważmy funkcję f \colon [0;\ 2\pi) \to S^1 taką, że f(\varphi)=(\cos(\varphi),\ \sin(\varphi)). Funkcja f jest ciągła i bijektywna. Z kolei funkcja f^{-1} nie jest ciągła w punkcie (1,0), bowiem f^{-1}((1,0))=0, ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie "zmieści się" w otoczeniu [0;\varepsilon) punktu 0.

Zastosowanie[edytuj]

Wprost z definicji wynika, że:

  • Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
  • Funkcja odwrotna do homeomorfizmu też jest homeomorfizmem.
  • Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

W dowolnej rodzinie przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności dwóch przestrzeni topologicznych jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji tej relacji czasami nazywa się typem topologicznym.

Przestrzenie homeomorficzne są z punktu widzenia topologii nierozróżnialne.

Topologia zajmuje się m.in. badaniem niezmienników topologicznych, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy homeomorfizmach przestrzeni. Wśród nich można wymienić domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość czy spójność.

Przykłady[edytuj]

  • okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną
  • okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem)
    Dowód. Jeśli odcinek jest obustronnie lub jednostronnie otwarty, to nie jest jest zwarty i nie może być homeomorficzny z okręgiem, który jest zwarty. Niech odcinek jest domknięty i przypuśćmy, że istnieje homeomorfizm między nim a okręgiem. Ustalamy dowolny punkt z wnętrza odcinka i obetnijmy dziedzinę tej funkcji o ten punkt. Obcięta funkcja jest dalej bijekcją ciągłą obustronnie. Jest więc homeomorfizmem. Ale odcinek z usuniętym punktem jest niespójny, okrąg z usuniętym obrazem tego punktu jest dalej spójny, wbrew temu, że homeomorfizmem zachowuje spójność/niespójność.
  • koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem,
  • sfera (jako dwuwymiarowa powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu,
  • żadne dwie powierzchnie spośród następujących: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa, nie są homeomorficzne
  • dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą, każdy z nich jest homeomorficzny z całą prostą,
  • żaden odcinek jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (obustronnie) otwartym ani (obustronnie) domkniętym

Zanurzenie homeomorficzne[edytuj]

Przekształcenie f\colon X\to Y nazywane jest zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieje taka podprzestrzeń L przestrzeni Y oraz taki homeomorfizm f^\prime\colon X\to L, że

f=\mbox{id}_L\circ f^{\prime}.

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówi się, że X jest zanurzalna w Y.

Sprzężenie topologiczne[edytuj]

Dwa homeomorfizmy \varphi,\; \psi\colon X \to X nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm \varrho\colon X \to X, że

\varphi \circ \varrho = \varrho \circ \psi

Zobacz też[edytuj]