Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm ( gr. ὅμοιος (homoios) = podobny + gr. μορφή (morphē) = kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania. Istnienie homomorfizmu między dwiema algebrami pozwala traktować jedną z nich jako podalgebrę drugiej. Istnienie homomorfizmów różnowartościowych w obie strony oznacza istnienie izomorfizmu między algebrami i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu[edytuj]

Niech i oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie, itp.), gdzie:

  • są zbiorami,
  • są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru (np. +, *, potęgowanie, itp.),
  • są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru odpowiadającymi działaniom w zbiorze
  • liczby argumentów działania są równe liczbie argumentów działania , .

Funkcja przekształcającą zbiór w zbiór jest homomorfizmem algebry w algebrę , jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań oraz i dla każdego ciągu elementów zbioru zachodzi równość:

O funkcji mówi się, że przeprowadza każde działanie w odpowiadające mu działanie .

Rodzaje homomorfizmów[edytuj]

Relacje zbiorów morfizmów
Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów
Zbiór monomorfizmów
Zbiór epimorfizmów
Zbiór izomorfizmów
Zbiór endomorfizmów
Zbiór automorfizmów
Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmów[edytuj]

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizm grup[edytuj]

Niech oraz oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie nazywamy homomorfizmem grupy w grupę jeżeli spełnione są warunki:

a)

tzn. jest funkcją ze zbioru w zbiór

b)

tzn. wynik działania wykonanego na wszystkich parach elementów zbioru i następnie odwzorowany do zbioru za pomocą funkcji jest równy wynikowi działania wykonanego na obrazach , elementów (wynik ten jest na pewno elementem zbioru , ponieważ operacja jest działaniem w ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe na działanie .

Twierdzenie[edytuj]

Tw. Jeżeli jest homomorfizmem , to

a) przekształca element neutralny działania w na element neutralny działania w , tzn.

.

b) przekształca element odwrotny działania w na element odwrotny działania w , tzn.

,

gdzie oznacza element przeciwny do elementu w , zaś oznacza element przeciwny do w .

Przykłady[edytuj]

Homomorfizm pierścieni[edytuj]

a) Liczby rzeczywiste R tworzą pierścień z działaniami dodawania i mnożenia liczb.

b) Zbiór macierzy 2 × 2 jest pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia macierzy.

Definiujemy funkcję ze zbioru R na zbiór macierzy

Funkcja jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

2) zachowuje mnożenie

3) element neutralny dodawania w R przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

4) element neutralny mnożenia w R przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

Homomorfizm grup[edytuj]

1) Zbiory niezerowych liczb zespolonych oraz niezerowych liczb rzeczywistych tworzą grupy z działaniami mnożenia. Definiujemy funkcje która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł:

Funkcja ta jest homomorfizmem z w gdyż odtwarza działanie mnożenia w  :

2) Zbiory oraz są pierścieniami, ale powyżej zdefiniowana funkcja nie może być rozszerzona na homomorfizm z pierścienia w pierścień z działaniami dodawania i mnożenia, gdyż funkcja ta na ogół nie zachowuje dodawania:

Homomorfizm f z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: f(n) = 2n. Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

Homomorfizm monoidów[edytuj]

1) Niech będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

oraz ,

tzn.

oraz ,

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) - zobacz rysunek obok)).

2) Niech oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania , a oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza . Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.1-27.