Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm ( gr. ὅμοιος (homoios) = podobny + gr. μορφή (morphē) = kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania. Istnienie homomorfizmu między dwiema algebrami pozwala traktować jedną z nich jako podalgebrę drugiej. Istnienie homomorfizmów różnowartościowych w obie strony oznacza istnienie (izomorfizmu) między algebrami i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal A = (A; g_1, \dots, g_n) i \mathcal B = (B; h_1, \dots, h_n) oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie, itp.), gdzie

  • A, B są pewnymi zbiorami,
  • g_1, \cdots,g_n są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru A, (np. +, *, potęgowanie, itp.)
  • h_1, \cdots, h_n są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru B, odpowiadające działaniom w zbiorze A,
  • a(g_i)=a(h_i), \ \   i = 1, \dots, n , tu a(d) oznacza liczbę argumentów działania d.

Funkcja f\colon A \to B przekształcającą zbiór A\, w zbiór B\, jest homomorfizmem algebry \mathcal Aw algebrę \mathcal B, jeśli dla każdych odpowiadających sobie działań g_i\, oraz h_i , i = 1, \dots, n oraz ciągu (x_1, x_2, \dots, x_{a(g_i)}) elementów zbioru A\, zachodzi równość:

f[g_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(g_i)})] = h_i[(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_{a(h_i)})]

O funkcji f\, mówi się, że przeprowadza każde działanie g_i w odpowiadające mu działanie h_i\,.

Rodzaje homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Relacje zbiorów morfizmów
Relacje zbiorów morfizmów.f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomofizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów
Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomofizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizm grup[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathrm G = (G, +, 0)\, oraz \mathrm H = (H, \oplus, \theta) oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie f\, nazywamy homomorfizmem grupy \mathrm G\, w grupę \mathrm H jeżeli spełnione są warunki:

a) f: G\to H

tzn. f\, jest funkcją ze zbioru elementów G w zbiór elementów H

b) \forall_{a,\; b \in G}\; f(a + b) = f(a) \oplus f(b)

tzn. wynik działania + wykonanego na wszystkich parach elementów a, b zbioru G jest równy wynikowi działania \oplus wykonanego na obrazach tych elementów f(a) , f(b) (wynik ten jest na pewno elementem zbioru H, ponieważ operacja \oplus jest działaniem w H).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe +\, na działanie \oplus.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Tw. Jeżeli f\, jest homomorfizmem f: G\to H i jest suriekcją, to

a) f\, przekształca element neutralny działania + w \mathrm G\, na element neutralny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

f(0) = \theta.

b) f\, przekształca element odwrotny działania + w \mathrm G\, na element odwrotny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

\forall_{a \in G}\; f(-a) = \ominus f(a),

gdzie -a oznacza element przeciwny do elemetu a w \mathrm G\,, zaś \ominus f(a) oznacza element przeciwny do f(a) w \mathrm H\,.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm pierścieni[edytuj | edytuj kod]

a) Liczby rzeczywiste R tworzą pierścień z działaniami dodawania i mnożenia liczb.

b) Zbiór macierzy 2 × 2 jest pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia macierzy.

Definiujemy funkcję ze zbioru R na zbiór macierzy

\forall_{r\in\mathbb{R}} \,\,f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}

Funkcja f jest homomorfizmem pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiegof(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

2) zachowuje mnożenie

f(r\cdot s) = \begin{pmatrix}
  r\cdot s & 0 \\
   0 & r\cdot s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\cdot f(s)

3) element neutralny dodawania w R przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

 f(0)=\begin{pmatrix}
   0& 0 \\
   0 & 0
\end{pmatrix}

4) element neutralny mnożenia w R przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

 f(1)=\begin{pmatrix}
   1& 0 \\
   0 & 1
\end{pmatrix}

Homomorfizm grup[edytuj | edytuj kod]

1) Zbiory niezerowych liczb zespolonych \mathbb{C}_{\ne 0}=\mathbb{C}-\{0\} oraz niezerowych liczb rzeczywistych \mathbb{R}_{\ne 0}=\mathbb{R}-\{0\} tworzy grupy z działaniami mnożenia (zero nie należy obu grup, ponieważ dla mnożenia nie ma elementu odwrotnego do zera, co jest jednym z warunków, by element należał do grupy utworzonej przez dane działanie). Definiujemy funkcje f: \mathbb{C}_{\ne 0}\to\mathbb{R}_{\ne 0} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł:

f(z)=|z|

Funkcja ta jest homomorfizmem z \mathbb{C}_{\ne 0} do \mathbb{R}_{\ne 0} , gdyż odtwarza działanie mnożenia w \mathbb{R}_{\ne 0}

f(z_1\cdot z_2) = |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot|z_2| = f(z_1) \cdot f(z_2)

2) Zauważmy, że mimo iż zbiory \mathbb{C}_{\ne 0} oraz \mathbb{R}_{\ne 0} są pierścieniami, to powyżej zdefiniowana funkcja f nie może być rozszerzona jako homomorfizm z pierścienia \mathbb{C}_{\ne 0} do pierścienia \mathbb{R}_{\ne 0} z działaniami dodawania i mnożenia, gdyż funkcja ta nie zachowuje dodawania:  |z_1 + z_2|\ne|z_1|+|z_2| .

Homomorfizm f z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: f(n) = 2n. Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

Homomorfizm monoidów[edytuj | edytuj kod]

1) Niech  f będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), takim że f(n) = 2^n.

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

f(n+m)=f(n) * f(m) oraz f(0)=1

tzn.

2^{n+m}=2^{n} *2^{m} oraz 2^0=1

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

2) Niech \mathrm G\, oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania +\,, a \mathrm H\, oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza f(n) = \exp(n). Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.1-27.