Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Homomorfizm (gr. ὅμοιος (homoios) = podobny + gr. μορφή (morphē) = kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Istnienie homomorfizmu pozwala traktować jedną z algebr jako podalgebrę drugiej.

Homomorfizm różnowartościowy nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu[edytuj | edytuj kod]

Niech i oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

  • są zbiorami,
  • są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru (np. +, *, potęgowanie itp.),
  • są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru odpowiadającymi działaniom w zbiorze
  • liczby argumentów działania są równe liczbie argumentów działania

Funkcja przekształcającą zbiór w zbiór jest homomorfizmem algebry w algebrę jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań oraz i dla każdego ciągu elementów zbioru zachodzi równość:

O funkcji mówi się, że przeprowadza każde działanie w odpowiadające mu działanie

Rodzaje homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Relacje zbiorów morfizmów
Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów
Zbiór monomorfizmów
Zbiór epimorfizmów
Zbiór izomorfizmów
Zbiór endomorfizmów
Zbiór automorfizmów
Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizm grup[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie nazywamy homomorfizmem grupy w grupę jeżeli spełnione są warunki:

a)

tzn. jest funkcją ze zbioru w zbiór

b)

tzn. wynik działania wykonanego na wszystkich parach elementów zbioru i następnie odwzorowany do zbioru za pomocą funkcji jest równy wynikowi działania wykonanego na obrazach elementów (wynik ten jest na pewno elementem zbioru ponieważ operacja jest działaniem w ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe na działanie

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Tw. Jeżeli jest homomorfizmem to

a) przekształca element neutralny działania w na element neutralny działania w tzn.

b) przekształca element odwrotny działania w na element odwrotny działania w tzn.

gdzie oznacza element przeciwny do elementu w zaś oznacza element przeciwny do w

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm pierścieni[edytuj | edytuj kod]

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb.

b) pierścień macierzy 2 × 2 (tj. zbiór macierzy 2 × 2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru na zbiór macierzy

(3) Funkcja jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

2) zachowuje mnożenie

3) element neutralny dodawania w przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

4) element neutralny mnożenia w przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

Z powyższych własności wynika, że funkcja jest homomorfizmem ze zbioru na zbiór .

Ponadto:

5) funkcja jest bijekcją, gdyż każdemu elementowi ze zbioru odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru i odwrotnie. Z powyższych własności wynika, że funkcja jest izomorfizmem zbiorów oraz .

Brak homomorfizmu pierścieni[edytuj | edytuj kod]

Zbiory oraz są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

Np. niech , . Wtedy mamy:

ale

Homomorfizm grup[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych oraz niezerowych liczb rzeczywistych . Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcje , która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

(3) Funkcja jest homomorfizmem z w gdyż odtwarza działanie mnożenia w , tj.

Homomorfizm monoidów[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm f z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: f(n) = 2n. Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

1) Niech będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

oraz

tzn.

oraz

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania a oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.