Ideał (teoria mnogości)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ideał – rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

  • zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
  • zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
  • suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Ideały w porządkach[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór jest ideałem w zbiorze uporządkowanym , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)
(ii) jeśli oraz to również
(iii) jeśli to można znaleźć taki że oraz

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)

Ideały w algebrach Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór jest ideałem w algebrze Boole’a , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)
(ii) jeśli (tzn. ) oraz to również
(iii) jeśli to

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj | edytuj kod]

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów .

Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina podzbiorów zbioru jest ideałem podzbiorów zbioru jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)
(ii) jeśli i to również
(iii) jeśli to

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)

Ideały maksymalne[edytuj | edytuj kod]

Ideał właściwy w porządku częściowym jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym jest samo

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ideały w algebrach Boole’a[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Niech będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue’a. Wówczas jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że jest filtem w algebrze Boole’a Niech Wówczas jest ideałem w Warto zauważyć, że jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy jest ulltrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina wszystkich skończonych podzbiorów jest ideałem podzbiorów Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
  • Niech Wówczas rodzina wszystkich podzbiorów zbioru jest ideałem podzbiorów Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
  • Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue’a zero. Wówczas zarówno jak i są ideałami podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni tworzy właściwy ideał podzbiorów
  • Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór Rodzina jest ideałem podzbiorów – zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami .

Dodatkowe pojęcia[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał podzbiorów zbioru jest -zupełny, jeśli suma mniej niż zbiorów z ideału należy do
  • Ideały -zupełne na są nazywane -ideałami podzbiorów . Tak więc -ideał podzbiorów to taki ideał podzbiorów który spełnia następujący warunek:
(iii)σ jeśli to
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech będzie takim ideałem podzbiorów zbioru który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:

Własności i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy właściwy ideał w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
  • Jeśli jest ideałem podzbiorów który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to
i
  • Współczynniki kardynalne ideałów i były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]