Ideał (teoria mnogości)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ideał – rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

  • zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
  • zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
  • suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje formalne[edytuj]

Ideały w porządkach[edytuj]

Niech będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór jest ideałem w zbiorze uporządkowanym , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ,
(ii) jeśli , oraz , to również ,
(iii) jeśli , to można znaleźć taki że oraz .

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) .

Ideały w algebrach Boole'a[edytuj]

Ponieważ algebra Boole'a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole'a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole'owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że zbiór jest ideałem w algebrze Boole'a jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ,
(ii) jeśli , (tzn ) oraz , to również ,
(iii) jeśli , to .

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) .

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj]

Szczególnym przypadkiem algebry Boole'a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole'a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru . Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów .

Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina podzbiorów zbioru jest ideałem podzbiorów zbioru jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ,
(ii) jeśli i , to również ,
(iii) jeśli , to .

Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) .

Ideały maksymalne[edytuj]

Ideał właściwy w porządku częściowym jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym jest samo .

Przykłady[edytuj]

Ideały w algebrach Boole'a[edytuj]

  • Niech będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Niech będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue'a. Wówczas jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że jest filtem w algebrze Boole'a . Niech . Wówczas jest ideałem w . Warto zauważyć, że jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy jest ulltrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina wszystkich skończonych podzbiorów jest ideałem podzbiorów . Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
  • Niech . Wówczas rodzina wszystkich podzbiorów zbioru jest ideałem podzbiorów . Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
  • Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue'a zero. Wówczas zarówno jak i są ideałami podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni tworzy właściwy ideał podzbiorów .
  • Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów , których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór . Rodzina jest ideałem podzbiorów - zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami .

Dodatkowe pojęcia[edytuj]

  • Niech będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał podzbiorów zbioru jest -zupełny, jeśli suma mniej niż zbiorów z ideału należy do .
  • Ideały -zupełne na są nazywane -ideałami podzbiorów . Tak więc -ideał podzbiorów , to taki ideał podzbiorów , który spełnia następujący warunek:
(iii)σ jeśli , to .
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech będzie takim ideałem podzbiorów zbioru , który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:

Własności i i zastosowania[edytuj]

  • Każdy właściwy ideał w algebrze Boole'a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
  • Jeśli jest ideałem podzbiorów który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to
i .
  • Współczynniki kardynalne ideałów i były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.

Zobacz też[edytuj]