Ideał (teoria pierścieni)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ideałpodzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i, szczególnie, przez Emmę Noether.

Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

W dalszej części artykułu pierścienie nie są koniecznie przemienne oraz nie muszą mieć jedynki.

Ideałem pierścienia nazywa się każdy podzbiór pierścienia o tej własności, że:

  1. jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia;
  2. jeśli oraz to
  3. jeśli oraz to

W przypadku, gdy jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.

Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek:

1′. jest niepusty oraz dla wszelkich

Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że jest podprzestrzenią liniową algebry Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.

Ideały jednostronne[edytuj | edytuj kod]

Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu

  • podzbiór pierścienia jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2.
  • podzbiór pierścienia jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 3.

W przypadku, gdy jest nieprzemienny, dla odróżnienia, ideał (zbiór spełniający warunki 1., 2. i 3.) nazywa się ideałem dwustronnym albo ideałem obustronnym.

Generowanie ideałów[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie podzbiorem pierścienia Część wspólna dowolnej rodziny dwu-/lewo-/prawostronnych ideałów w jest nadal ideałem o danej własności. Obserwacja ta pozwala na definicję ideału dwu-/lewo-/prawostronnego generowanego przez zbiór ( nazywany jest wówczas zbiorem generatorów). I tak, symbolami oznacza się część wspólną rodziny wszystkich ideałów, odpowiednio, dwu-/lewo-/prawostronnych zawierających zbiór (w każdym przypadku rodzina ideałów zawierających jest niepusta, gdyż należy do niej ideał rozważanie części wspólnej ma zatem sens).

Wyżej zdefiniowane ideały generowane przez zbiór można opisać jawnie:

W przypadku, gdy pierścień ma jedynkę „wyrazy wolne” w powyższych wzorach można pominąć.

Ideały generowane przez zbiór skończony nazywa się ideałami skończenie generowanymi. Ideały generowane przez zbiór jednoelementowy („generowane przez jeden element”) nazywane są ideałami głównymi.

Typy ideałów[edytuj | edytuj kod]

Z definicji natychmiast wynika, że sam pierścień jest ideałem (dwu-/lewo-/prawostronnym). Ideały pierścienia które są różne od nazywane są ideałami właściwymi. W przypadku pierścieni z jedynką, ideał jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jedynki pierścienia.

Ideały maksymalne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: ideał maksymalny.

Ideał (dwu-/lewo-/prawostronny) nazywany jest ideałem maksymalnym, gdy nie istnieje ideał właściwy, w którym jest on zawarty w sposób właściwy. Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc aksjomatu wyboru) można udowodnić następujące twierdzenie:

  • Twierdzenie Krulla: Każdy ideał (dwu-/lewo/-prawostronny) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Ponadto,

  • Ideał (dwustronny) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest pierścieniem z dzieleniem (bądź ciałem, gdy jest przemienny).

Ideały pierwsze[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie pierścieniem przemiennym. Ideał pierścienia nazywa się ideałem pierwszym, gdy spełnia on następujący warunek:

jeżeli to lub

Często używa się również w definicji warunku równoważnego:

jeżeli oraz nie należy do to

Każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Ponadto, ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie ma nietrywialnych dzielników zera (tj. jest dziedziną całkowitości).

Ideały pierwsze w teorii pierścieni pełnią rolę liczb pierwszych w teorii liczb.

Pierścień w którym każdy ideał jest ideałem pierwszym nazywany jest pierścieniem ideałów pierwszych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W dowolnym pierścieniu zbiór jest ideałem, zwanym trywialnym.
  • Zbiór wszystkich elementów pierścienia jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
  • W pierścieniu liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 9. Ogólniej, każdy ideał pierścienia jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną Zatem jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
  • Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
  • Jeśli jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro jest ideałem w pierścieniu
  • Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.
  • Grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych ciała liczb hiperrzeczywistych[1].

Operacje na ideałach[edytuj | edytuj kod]

Suma algebraiczna ideałów i pierścienia czyli zbiór

jest również ideałem w pierścieniu

Zbiór wszystkich iloczynów elementów dwóch ideałów i nie musi być ideałem. Dlatego przez rozumie się ideał generowany przez te iloczyny. Zatem:

Część wspólna ideałów również jest ideałem, podczas gdy teoriomnogościowa suma ideałów nie musi być ideałem, ale zawsze jest podzbiorem ideału

Część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał w pierścieniu nazywana jest radykałem ideału w pierścieniu

Własności operacji na ideałach[edytuj | edytuj kod]

  • Wszystkie trzy powyższe operacje są łączne i przemienne.
  • Iloczyn ideałów jest rozdzielny względem dodawania.
  • Część wspólna ideałów jest modularna względem dodawania: jeśli to
  • Ideały nazywamy ideałami względnie pierwszymi, jeśli Na podstawie poprzedniego przykładu oznacza to, że a ponieważ więc dla ideałów względnie pierwszych zachodzi równość
  • Przeciwobraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem. Jeżeli jest homomorfizmem i I jest ideałem P to jest ideałem R. (przeciwobraz podgrupy jest podgrupą, iloczyn elementu i elementu z jądra przechodzi na 0, więc jest w przeciwobrazie I, iloczyn z elementem spoza jądra przechodzi na element z I z definicji ideału i homomorfizmu).
  • Obraz ideału przy epimorfizmie jest ideałem. Ogólniej obraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem obrazu pierścienia przy homomorfizmie (niekoniecznie ideałem pierścienia, w który prowadzi homomorfizm).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751.