Iloczyn kartezjański

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
×

Iloczyn kartezjański – dla danych zbiorów i zbiór wszystkich takich par uporządkowanych , że należy do zbioru i należy do zbioru . Iloczyn kartezjański zbiorów i oznacza się symbolem [1].

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są przy pomocy uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – o elementach (punktach) iloczynu kartezjańskiego można myśleć podobnie. Jednak w ogólności elementy zbiorów i nie muszą być liczbami, ale mogą stanowić dowolne zbiory obiektów matematycznych.

Definicja[edytuj]

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B

Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór

,

gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru .

W naturalny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów: jako , jako i tak dalej. Na przykład iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie w rezultacie zbiorem wszystkich trójek uporządkowanych takich, że należy do , należy do i należy do .

Przykład[edytuj]

Niech dane będą zbiory oraz . Iloczyn kartezjański zbiorów i zgodnie z definicją jest równy:

.

Produkt kartezjański[edytuj]

Dla rodziny zbiorów można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji

,

że

dla każdego

nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów i oznacza takimi symbolami jak

czy

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 51–53, 73. [dostęp 17.06.2011].

Bibliografia[edytuj]

  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: PWN, 1952, s. 51–53, 73. [dostęp 2011-06-17].
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  • H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.