Iloczyn kartezjański

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
×

Iloczyn kartezjański – dla danych zbiorów i zbiór wszystkich takich par uporządkowanych , że należy do zbioru i należy do zbioru [1][2]. Iloczyn kartezjański zbiorów i oznacza się symbolem [3][2].

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są za pomocą uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – elementy iloczynu kartezjańskiego można zatem utożsamiać z punktami na płaszczyźnie[4]. Jednak w ogólności elementy zbiorów i nie muszą być liczbami, mogą być dowolnymi obiektami matematycznymi.

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Definicje[edytuj]

Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór

[a]

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych takich, że , , . Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich[5][6], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze w zbiór . Przy drugim[7] jako bierze się , a zatem trójka to para par: . Formalnie zbiór zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia[8][9][b].

Podobnie można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych takich, że , , , . Czwórki te można interpretować dwojako:

  • jako funkcje z w zbiór ,
  • jako pary par , wówczas iloczyn określa się jako .

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady[edytuj]

Niech dane będą zbiory oraz . Iloczyn kartezjański zbiorów i zgodnie z definicją jest równy:

.

Zbiór służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Uogólniony produkt kartezjański[edytuj]

Dla rodziny zbiorów można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji[10]

,

takich że dla każdego nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów i oznacza takimi symbolami jak

    lub  

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego, przy której . Ponieważ i dla , więc i , gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru , a stąd wynika, że .
  2. Zbiory , i nie są równe, bowiem mają różne elementy, ale są między nimi oczywiste, kanoniczne bijekcje. S. Eilenberg i S. Mac Lane (General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58 (1945), s. 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf) pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów.

Przypisy

  1. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 52.
  2. a b Rasiowa 1975 ↓, s. 60.
  3. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 53.
  4. Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 42.
  5. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 56.
  6. Rasiowa 1975 ↓, s. 71.
  7. K. Kuratowski i A. Mostowski, Teoria mnogości, wyd.trzecie zmienione, PWN, Warszawa 1978, s.84.
  8. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 73.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 72.
  10. Rasiowa 1975 ↓, s. 70.

Bibliografia[edytuj]