Iloczyny grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Iloczyn prosty grup)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rodziną grup, gdzie jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

z działaniem

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

  • elementem neutralnym jest gdzie jest elementem neutralnym grupy dla każdego
  • elementem odwrotnym do elementu jest

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty[edytuj | edytuj kod]

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup określonego równością

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis

Jeżeli jednak jest zbiorem przeliczalnym, a nietrywialne dla nieskończenie wielu to

Suma prosta[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozważamy grupy z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych Jest również łączny w sensie, że jeżeli oraz to

Jeżeli to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych zachodzi
  • dla dowolnych istnieją jednoznacznie wyznaczone takie, że
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. jest izomorficzna z

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn półprosty[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn półprosty zewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Niech będą dane grupy i oraz homomorfizm grupy w grupę automorfizmów grupy

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup i za pośrednictwem oznaczanym nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem

oraz odwrotnością daną przez

i elementem neutralnym

gdzie oraz są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie podgrupą normalną w Dopełnieniem normalnym podgrupy w nazywamy zbiór spełniający warunki oraz (równoważnie ).

Grupę nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup i co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dopełnieniem normalnym

Jeżeli grupa jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup i to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym za pośrednictwem homomorfizmu określonego jako czyli sprzężenie przez Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup oraz przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest trywialny.
  • jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy są przemienne oraz jest trywialny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupa diedralna rzędu jest iloczynem półprostym wewnętrznym
  • Grupa izometrii przestrzeni jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]