Iloczyn tensorowy modułów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczyn tensorowy modułów M i N - moduł, którego homomorfizmy (odwzorowania liniowe) w dowolny moduł Z są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów M i N w moduł Z.

Istnienie i określenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli R jest pierścieniem przemiennym oraz M i N są odpowiednio prawym i lewym R-modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki R moduł P oraz odwzorowanie dwuliniowe

\theta\colon M\times N\to P,

że dla każdej grupy abelowej Z oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego

f\colon M\times N\to Z

istnieje taki homomorfizm grup

\tilde{f}\colon P \to Z,

że

\tilde{f} \circ \theta = f.

Moduł G (wraz z odzorowaniem \theta:=\otimes_R) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów M i N i oznaczana symbolem M \otimes_R N (bądź po prostu M \otimes N, gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem R rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy M i N to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa M \otimes_R N dla której diagram

Tensor product of modules.png

jest przemienny.

Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów[edytuj | edytuj kod]

Model modułu P=M \otimes_R N (wraz z odwzorowaniem \theta=\otimes_R) może zostać skonstruowany za pomocą R-modułów M i N: Elementami modułu wolnego F(M\times N) nad iloczynem kartezjańskim M\times N są wszystkie kombinacje liniowe par (m,n)\in M\times N o współczynnikach z pierścienia R. Moduł ilorazowy

F(M\times N)/S,

gdzie S\; jest podmodułem modułu F(M\times N), generowanym przez elementy postaci

(rm+r^\prime m^\prime, n)-r(m,n)-r^\prime(m^\prime, n),
 (m, rn+r^\prime n^\prime)-r(m,n)-r^\prime(m, n^\prime),

dla  m,m^\prime \in M, n,n^\prime \in N, r,r^\prime \in R, jest iloczynem tensorowym modułów M i N:

F(M\times N)/S = M \otimes_R N.

Element

m\otimes_R n:=(m,n)+S

nazywany jest tensorem prostym elementów m \in M i n \in N, a każdy element M\otimes_R N - tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego M\otimes_R N. Tensor prosty m\otimes_R n jest obrazem pary (m, n)\; w homomorfizmie kanonicznym

\pi\colon F(M\times N)\to F(M\times N)/S=M\otimes_R N.

Jeżeli M_1, ..., M_n\;R\;-bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego

M_1\otimes_R \ldots \otimes_R M_n

zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami n-liniowymi w określeniu.

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym nad ciałem, a więc, w szczególności, można mówić o iloczynie tensorowym przestrzeni liniowych. Jeżeli V i W są przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem) oraz \{a_s\colon s\in S\} i \{b_t\colon t\in T\} są jej bazami, to zbiór tensorów prostych

\{a_s \otimes b_t\colon\, s\in S,\, t\in T\}

jest bazą M\otimes N. Indukcyjnie, powyższa własność baz przenosi się na iloczyny tensorowe dowolnej (skończonej) liczby przestrzeni liniowych.

Jeżeli n i mliczbami naturalnymi, to

\mathbb{R}^n\otimes \mathbb{R}^m=\mathbb{R}^{nm}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. ss. 74-77.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]