Iloczyn tensorowy modułów

Iloczynem tensorowym modułów $M$ i $N$ nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł $Z$ są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów $M$ i $N$ w moduł $Z.$

Istnienie i określenie

Jeżeli $R$ jest pierścieniem przemiennym oraz $M$ i $N$ są odpowiednio prawym i lewym $R$ -modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki $R$ -moduł $P$ oraz odwzorowanie dwuliniowe

\theta \colon M\times N\to P,

że dla każdej grupy abelowej $Z$ oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego

f\colon M\times N\to Z

istnieje taki homomorfizm grup

{\tilde {f}}\colon P\to Z,

że

{\tilde {f}}\circ \theta =f.

Moduł $P$ (wraz z odzorowaniem $\otimes :=\theta$ ) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów $M$ i $N$ i oznaczana symbolem $M\otimes _{R}N$ (bądź po prostu $M\otimes N,$ gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem $R$ rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy $M$ i $N$ to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa $M\otimes _{R}N,$ dla której diagram

jest przemienny.

Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów

Iloczyn tensorowy $R$ -modułów $M$ i $N$ (wraz z odwzorowaniem $\theta =\otimes _{R}$ ) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny $F(M\times N)$ generowany przez iloczyn kartezjański $M\times N.$ Jego elementami są funkcje $f\colon M\times N\to R$ o skończonym nośniku $\operatorname {supp} f:=\{x\in M\times N;\ f(x)\neq 0\}$ postaci

f=\sum _{(m,n)\in M\times N}r_{(m,n)}(m,n)

dla pewnych $r_{(m,n)}\in R,$ gdzie $(m,n)\in F(M\times N)$ oznacza funkcję, która $(x,y)\in M\times N$ przyporządkowuje 1, gdy $(x,y)=(m,n)\in M\times N$ i 0 w przeciwnym wypadku. Moduł ilorazowy

F(M\times N)/S,

gdzie $S$ jest podmodułem modułu $F(M\times N),$ generowanym przez elementy postaci

(rm+r'm',n)-r(m,n)-r'(m',n),

(m,rn+r'n')-r(m,n)-r'(m,n'),

dla $m,m'\in M,n,n'\in N,r,r'\in R,$ jest iloczynem tensorowym modułów $M$ i $N{:}$

F(M\times N)/S=M\otimes _{R}N.

Element

m\otimes _{R}n:=(m,n)+S

nazywany jest tensorem prostym elementów $m\in M$ i $n\in N,$ a każdy element $M\otimes _{R}N$ – tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego $M\otimes _{R}N.$ Tensor prosty $m\otimes _{R}n$ jest obrazem pary $(m,n)$ w homomorfizmie kanonicznym