Iloczyn tensorowy modułów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn tensorowy modułów M i N - moduł, którego homomorfizmy (odwzorowania liniowe) w dowolny moduł Z są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów M i N w moduł Z.

Istnienie i określenie[edytuj]

Jeżeli jest pierścieniem przemiennym oraz i są odpowiednio prawym i lewym R-modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki moduł oraz odwzorowanie dwuliniowe

,

że dla każdej grupy abelowej oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego

istnieje taki homomorfizm grup

,

że

Moduł (wraz z odzorowaniem ) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów i i oznaczana symbolem (bądź po prostu , gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy i to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa dla której diagram

Tensor product of modules.png

jest przemienny.

Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów[edytuj]

Model modułu (wraz z odwzorowaniem ) może zostać skonstruowany za pomocą -modułów i : Elementami modułu wolnego nad iloczynem kartezjańskim są wszystkie kombinacje liniowe par o współczynnikach z pierścienia . Moduł ilorazowy

,

gdzie jest podmodułem modułu , generowanym przez elementy postaci

,
,

dla , jest iloczynem tensorowym modułów i :

.

Element

nazywany jest tensorem prostym elementów i , a każdy element - tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego . Tensor prosty jest obrazem pary w homomorfizmie kanonicznym

.

Jeżeli -bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego

zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami n-liniowymi w określeniu.

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych[edytuj]

Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym nad ciałem, a więc, w szczególności, można mówić o iloczynie tensorowym przestrzeni liniowych. Jeżeli i są przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem) oraz i są jej bazami, to zbiór tensorów prostych

jest bazą . Indukcyjnie, powyższa własność baz przenosi się na iloczyny tensorowe dowolnej (skończonej) liczby przestrzeni liniowych.

Jeżeli i liczbami naturalnymi, to

.

Bibliografia[edytuj]

  • Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. ss. 74-77.

Zobacz też[edytuj]