Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych oraz (nad tym samym ciałem) – przestrzeń liniowa, której bazę tworzą wszystkie wektory bazy przestrzeni mnożone tensorowo przez wszystkie wektory bazy przestrzeni

Iloczyn tensorowy ma więc wymiar równy iloczynowi wymiarów mnożonych przestrzeni. Iloczyn tensorowy różni się np. od sumy prostej przestrzeni liniowych, której wymiar jest sumą wymiarów dodawanych do siebie przestrzeni.

Pojęcie iloczynu tensorowego można uogólnić na inne obiekty matematyczne, takie jak macierze, tensory, algebry, przestrzenie liniowo-topologiczne, moduły.

Definicja iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli

  • i – przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem,
  • baza w przestrzeni
  • – baza w przestrzeni

to iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych i nazywa się przestrzeń liniową, której bazę stanowią iloczyny tensorowe wektorów bazowych mnożonych przestrzeni, tj. bazą jest zbiór

Wymiar iloczynu tensorowego[edytuj | edytuj kod]

Z definicji wynika, że wymiar iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych jest równy iloczynowi wymiarów mnożonych tensorowo przestrzeni, tj.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

(1) Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym nad ciałem, a więc iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego modułów.

(2) W przypadku przestrzeni rzeczywistych oraz gdzie i liczbami naturalnymi, ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią rzeczywistą wymiaru tj.

Iloczynu tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

(1) Iloczynem tensorowym przestrzeni nazywa się iloczyn tensorowy przestrzeni przez przestrzeń dla tj.

Powyższa definicja jest definicją indukcyjną.

(2) W szczególności dla trzech przestrzeni ich iloczyn tensorowy jest równy iloczynowi tensorowemu przestrzeni przez przestrzeń tj.

(3) Iloczyn tensorowy przestrzeni z nią samą n-krotnie mnożoną oznacza się skrótowo symbolem tj.

Przykład: Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych 2-wymiarowych[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe:

z bazą
z bazą

Iloczyn tensorowy tych przestrzeni jest przestrzenią liniową o wymiarze równym przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni przez wektory bazowe przestrzeni tj.

(2) Iloczyny tensorowe wektorów bazy można przedstawić w postaci wektorów kolumnowych – aby pokazać to, wybierzmy reprezentację wektorów bazy w postaci wektorów kolumnowych:

oraz

Obliczając iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera), otrzyma się:

Iloczyny tensorowe wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych tworzą więc wektory kolumnowe o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i są wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni liniowej

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.