Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany – działanie określone dla trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jako iloczyn skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Jeśli więc $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ są dowolnymi wektorami $\mathbb {R} ^{3},$ to ich iloczyn mieszany ma postać:

$(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} ):=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

Ponieważ zachodzą tożsamości

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),$

więc każde z powyższych trzech wyrażeń może być użyte w definicji iloczynu mieszanego.

Za pomocą symbolu Leviego-Civity iloczyn mieszany można określić wzorem (w konwencji sumacyjnej Einsteina)

$(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

Interpretacja geometryczna

Trzy wektory określające równoległościan z zaznaczonymi odpowiednimi iloczynami wektorowymi i mieszanymi.

W dodatnio zorientowanym układzie współrzędnych iloczyn mieszany opisuje objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory. Jeśli orientacja przestrzeni nie jest narzucona, to wspomniana objętość również jest zorientowana w tym sensie, iż zależy ona od kolejności wektorów (parzystości ich permutacji). Zmiana orientacji powoduje zmianę znaku iloczynu, w związku z tym iloczyn mieszany nie jest skalarem, a raczej pseudoskalarem (iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, a iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, zaś iloczyn skalarny pseudowektora i wektora jest pseudoskalarem). Wynika stąd także, że zmiana kolejności wektorów w iloczynie wektorowym zmienia znak iloczynu mieszanego (iloczyn skalarny jest przemienny i nie wpływa na znak iloczynu mieszanego),

$(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {a} \;\mathbf {c} \;\mathbf {b} ).$

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo (transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika),

$(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}},$

gdzie $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3});$ wielkość ta jest niezmiennicza ze względu na obroty. Stąd iloczyn mieszany ma wszystkie własności wyznacznika, w tym wieloliniowość i alternacyjność; jest więc unormowaną formą objętości.

Wektory $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru, gdyż „równoległościan” przez nie wyznaczony jest wtedy płaski (zdegenerowany) i nie ma objętości. Ponadto

${\Big |}(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} ){\Big |}\leqslant |\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |.$

Zachodzi także następująca własność:

$(\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} ).$

Iloczyn zewnętrzny

Trójwektor jako forma objętości, czyli zorientowany element objętości; obiekt do niego dualny jest skalarem o wartości równej jego objętości.

W algebrach zewnętrznej i geometrycznej iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest dwuwektorem, czyli zorientowanym elementem płaszczyzny, podczas gdy iloczyn zewnętrzny trzech wektorów to trójwektor, czyli zorientowany element objętości; są to naturalne uogólnienia wektora jako zorientowanego elementu prostej. Dla danych wektorów $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ ich iloczyn zewnętrzny

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

jest trójwektorem, tzn. pseudoskalarem dualnym do iloczynu mieszanego, o wartości równej iloczynowi mieszanemu (nawiasy pominięto, ponieważ iloczyn zewnętrzny jest łączny, choć nie jest przemienny). Trójwektorowi $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$ odpowiada równoległościan rozpięty przez wektory $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,$ gdzie dwuwektorom $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ,\;\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ,\;\mathbf {a} \wedge \mathbf {c}$ odpowiadają równoległoboczne ściany równoległościanu.