Iloraz różnicowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja[edytuj]

Niech i . Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz

.

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie , gdzie oznacza licznik, zaś – mianownik powyższego ułamka.

Przykład[edytuj]

Dla funkcji i punktów ich iloraz różnicowy wynosi:

.

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów . Prostą nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga
wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.
Difference quotient-chart.png

Jeżeli określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji w dla punktów określa średnią prędkość ciała w czasie od do .

Związek z pochodną[edytuj]

 Osobny artykuł: pochodna.

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x0 jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

Uogólnienia[edytuj]

Ilorazem różnicowym -tego rzędu funkcji w punktach nazywamy funkcję

.

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

.