Indukcja matematyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Indukcja matematyczna – metoda dowodzenia twierdzeń o prawdziwości nieskończonej liczby stwierdzeń oraz definiowania rekurencyjnego (zob. osobna sekcja). W najbardziej typowych przypadkach dotyczą one liczb naturalnych.

Dowody wykorzystujące metodę indukcji nazywa się dowodami indukcyjnymi, choć wbrew sugestywnej nazwie argumenty oparte na indukcji matematycznej nie są rozumowaniami indukcyjnymi, lecz dedukcyjnymi (podobnie jak cała matematyka). Najstarszy znany dowód indukcyjny, dotyczący sumy początkowych liczb nieparzystych[a], podał Francesco Maurolico (1494–1575) w pracy Arithmeticorum libri duo („Dwie księgi o arytmetyce”) z 1575 roku.

Wprowadzenie[edytuj]

Efekt domina

Jak dowieść prawdziwości poniższych stwierdzeń?

Każde z nich zawiera zmienną przebiegającą zbiór nieskończony Każde z tych stwierdzeń jest w istocie zbiorem nieskończenie wielu stwierdzeń. Można zbadać skończoną ich liczbę, gdzie przyjmuje pewne konkretne wartości, przykładowo sprawdzić dla i czuć się przekonanym o prawdziwości tego stwierdzenia, ale daleko takiemu postępowaniu do dowodu. Z drugiej strony nie sposób sprawdzić prawdziwości nieskończenie wielu stwierdzeń w skończonym czasie. Pozostaje więc uciec się do innych metod. Mając na celu dowodzenie stwierdzeń o wszystkich liczbach naturalnych wprowadza się aksjomat – jest to w istocie piąty z aksjomatów Giuseppe Peana (1858–1932) liczb naturalnych – tzw. aksjomat indukcji matematycznej (zob. szczegóły).

Często używaną ilustracją jest efekt domina: ustawiając szereg kamieni domina jeden za drugim można być pewnym przewrócenia wszystkich kamieni (nawet ich nieskończonej liczby), jeśli tylko przewrócono pierwszy kamień, a każdy kamień przewraca kolejny.

Indukcja niezupełna[edytuj]

Aksjomat indukcji matematycznej
Jeśli jest podzbiorem który spełnia
  • dla wszystkich jeśli to
to stanowi całość tzn.

Aksjomat ten można wykorzystać do dowodzenia stwierdzeń postaci „ dla każdego ” jak następuje. Niech będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych, dla których jest prawdziwe. W pierwszym kroku, tzw. bazie indukcji, sprawdza się, czy czyli prawdziwość Następnie zakłada się, że czyli prawdziwość i przy tym założeniu, nazywanym hipotezą indukcyjną, dowodzi się prawdziwości W ten sposób pokazuje się, że pociąga Z aksjomatu indukcji matematycznej wynika a więc jest prawdziwe dla wszystkich

Powyższy aksjomat można więc sformułować w postaci następującej procedury:

Zasada indukcji matematycznej
Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną [b]. Można dowieść stwierdzenia
dla każdego jest
zapewniając, że
  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe.

Dowody korzystające z zasady indukcji matematycznej składają się z dwóch kroków. Pierwszym jest dowód prawdziwości w praktyce jest to zwykle dość proste, ale nie wolno zaniedbywać tego kroku. W drugim kroku zakłada się prawdziwość założenie to jest hipotezą indukcyjną, i pod tym założeniem dowodzi prawdziwości Dowód przez indukcję nie będzie pełny (ani poprawny), jeśli przeprowadzi się tylko pierwszy krok, a pominie drugi bądź wykona drugi z kroków, a opuści pierwszy. Kontrastując z opisanym dalej wariantem powyższą zasadę nazywa się też indukcją niezupełną.

Przykłady[edytuj]

Suma początkowych liczb naturalnych
Należy dowieść
W tym celu wykorzystana zostanie zasada indukcji matematycznej:
  • a więc wzór jest prawdziwy dla
  • Czyniąc założenie (hipotezę indukcyjną) należy upewnić się, że
Otóż
a więc wzór jest prawdziwy dla o ile tylko jest prawdziwy dla Stąd
Suma początkowych potęg dwójki
Należy dowieść
  • Jest co dowodzi prawdziwości stwierdzenia dla
  • Zakładając należy dowieść
Ponieważ
to wzór jest prawdziwy dla jeśli tylko jest prawdziwy dla Zatem
Nierówność Bernoulliego
Niech będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Należy udowodnić, że dla wszystkich
  • Skoro to nierówność jest prawdziwa dla
  • Przyjmując wykazana zostanie
Zachodzi
więc nierówność jest prawdziwa dla o ile jest prawdziwa dla Na mocy zasady indukcji matematycznej dla wszystkich (dla ).

Indukcja zupełna[edytuj]

Czasami wygodnie jest użyć zasady indukcji w nieco innej postaci. Zakłada się w niej prawdziwość (nie tylko a) każdego z i wnosi o prawdziwości Zapewnia to o prawdziwości dla wszystkich o czym mówi poniższy

Lemat
Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną Zakładając, że
  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli są prawdziwe, to jest prawdziwe,
otrzymuje się prawdziwość dla wszystkich [c].

Dzięki niemu zasada indukcji matematycznej może zyskać nową, czasem bardziej użyteczną postać, tzw. indukcji zupełnej.

Zasada indukcji matematycznej
Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną [b]. Można dowieść stwierdzenia
dla każdego jest
zapewniając, że
  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli są prawdziwe, to jest prawdziwe.

Inne warianty[edytuj]

Stwierdzenie „” nie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych zachodzi jednak dla wszystkich liczb naturalnych Do dowiedzenia tego i podobnych mu stwierdzeń również można wykorzystać zasadę indukcji matematycznej. Niech będzie ustaloną liczbą całkowitą (dodatnią, ujemną, zerem) i niech będzie stwierdzeniem dotyczącym liczby całkowitej Udowodnienie prawdziwości dla polega na wykazaniu, że

  • jest prawdziwe
  • dla wszystkich jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe[d].

Istnieje również podobna modyfikcja zasady indukcji zupełnej.

Aksjomat czy twierdzenie?[edytuj]

 Osobny artykuł: aksjomat indukcji.

W wielu źródłach można zamiast „aksjomatu indukcji” spotkać nazwę „twierdzenie o indukcji”; odpowiedź na pytanie tytułowe zależy od kontekstu, w którym jest ono stawiane.

W zastosowaniach matematyki, matematyce elementarnej, czy matematyce dyskretnej dominuje tendencja do mówienia o „twierdzeniu o indukcji matematycznej”, również dlatego, by uniknąć przesadnej formalizacji. Wprowadzając indukcję matematyczną podaje się często dowód twierdzenia o indukcji korzystając z dość intuicyjnej zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych, tzn. założenia, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.

Natomiast w logice, szczególnie gdy liczby naturalne wprowadzane są za pomocą aksjomatów Peana, indukcja traktowana jest jako aksjomat. Z powodu kwantyfikowania po zbiorach w gruncie rzeczy jest to aksjomat logiki drugiego rzędu; w przypadku, gdy rozwijana teoria jest formalizowana w logice pierwszego rzędu, wyrażenie „aksjomat indukcji” oznacza w istocie schemat aksjomatu: nieskończoną listę aksjomatów, osobnych dla każdej formuły.

Definiowanie[edytuj]

 Osobne artykuły: definicjarekurencja.

Ważną konsekwencją zasady indukcji matematycznej jest następujące twierdzenie uzasadniające poprawność definiowania rekurencyjnego:

Niech będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych o wyrazach z niepustego zbioru a oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od wybranej liczby Dla danej funkcji istnieje jedna i tylko jedna funkcja która dla każdej liczby naturalnej spełnia
gdzie oznacza zawężenie funkcji.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Równość jest prawdziwa dla wszystkich
  2. a b Dokładniej: formułą w pewnym języku, w którym jedyną zmienną wolną jest a dziedzina tej zmiennej zawiera wszystkie liczby naturalne.
  3. Dowód zgodnie z zasadą indukcji matematycznej (niezupełnej). Niech
    wtedy
    • jest prawdziwe (z założenia o bazie indukcyjnej (i)),
    • przyjmując hipotezę indukcyjną, że jest prawdziwe; wówczas:
      i i … i są prawdziwe (z definicji );
      wszystkie są prawdziwe (z własności koniunkcji);
      jest prawdziwe (z założenia o hipotezie indukcyjnej (ii));
      wszystkie są prawdziwe;
      i i … i i są prawdziwe;
      jest prawdziwe.
    Zatem, dla każdego jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe. Z zasady indukcji matematycznej (niezupełnej) jest prawdziwe dla wszystkich Dlatego
    i i … i są prawdziwe dla wszystkich
    co kończy dowód.
  4. Można się o tym łatwo przekonać podstawiając dla i korzystając z zasady indukcji matematycznej (niezupełnej) dla w miejsce