Interpolacja wielomianowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange’a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange’a, lub po prostu interpolacjąmetoda numeryczna przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange’a stopnia przyjmującym w punktach, zwanych węzłami interpolacji, wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję ciągłą na przedziale domkniętym, można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Interpolacja liniowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych i dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty i

Ogólna metoda[edytuj | edytuj kod]

Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

  1. wybraniu punktów należących do dziedziny dla których znane są wartości
  2. znalezieniu wielomianu stopnia co najwyżej takiego, że

Interpretacja geometryczna – dla danych punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej którego wykres przechodzi przez dane punkty

Znajdowanie odpowiedniego wielomianu[edytuj | edytuj kod]

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w następujący sposób:

  1. Dla pierwszego węzła o wartości znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość a w pozostałych węzłach wartość zero.
  2. Dla kolejnego węzła znajduje się podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość a w pozostałych węzłach wartość zero.
  3. Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego.
  4. Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego.
  5. Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym.

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

Wielomian Lagrange’a[edytuj | edytuj kod]

Postać Lagrange’a wielomianu to jedna z metod przedstawiania wielomianu, wykorzystywana często w zagadnieniach interpolacji. Dla wielomianu stopnia wybiera się punktów – i wielomian ma postać:

Ponieważ jest równy 1 dla równego (licznik i mianownik są równe), 0 zaś dla wszystkich innych (licznik jest równy zero), można łatwo za pomocą postaci Lagrange’a interpolować dowolną funkcję:

Wielomian ten będzie się zgadzał z funkcją we wszystkich punktach

Dowód istnienia wielomianu interpolującego[edytuj | edytuj kod]

Niech będą węzłami interpolacji funkcji takimi że znane są wartości
Można zdefiniować funkcję:

taką że dla jest wielomianem stopnia (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem wyrazów postaci ).

Gdy i :

Gdy i :

(licznik = 0, ponieważ występuje element ).

Niech będzie wielomianem stopnia co najwyżej określonym jako:

Dla :

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od są równe zeru (ponieważ dla ), składnik o indeksie jest równy:

a więc

z czego wynika, że jest wielomianem interpolującym funkcję w punktach

Jednoznaczność interpolacji wielomianowej[edytuj | edytuj kod]

Dowód

Zakłada się, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany i stopnia przyjmujące w węzłach takie same wartości.

Niech

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ i w węzłach interpolują tę samą funkcję, to a więc (węzły interpolacji są pierwiastkami ).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że ma pierwiastków, to musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru, a ponieważ:

to

co jest sprzeczne z założeniem, że i są różne.

Błąd interpolacji[edytuj | edytuj kod]

Dość naturalne wydaje się przyjęcie, że zwiększenie liczby węzłów interpolacji (lub stopnia wielomianu interpolacyjnego) pociąga za sobą coraz lepsze przybliżenie funkcji wielomianem Idealna byłaby zależność:

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się „coraz bardziej podobny” do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równo odległych tak być nie musi → efekt Rungego.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia przybliżającego funkcję w przedziale na podstawie węzłów, istnieje taka liczba zależna od że dla reszty interpolacji :

gdzie a jest liczbą zależną od

Do oszacowania z góry wartości można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia do oszacowania wartości dla Dla przedziału wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]