Interpolacja wielomianowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia przyjmującym w punktach, zwanych węzłami interpolacji, wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję , ciągłą na przedziale domkniętym, można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Interpolacja liniowa[edytuj]

 Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych i , dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty i .

Ogólna metoda[edytuj]

Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

  1. wybraniu punktów należących do dziedziny , dla których znane są wartości
  2. znalezieniu wielomianu stopnia co najwyżej takiego, że .

Interpretacja geometryczna – dla danych punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej , którego wykres przechodzi przez dane punkty

Znajdowanie odpowiedniego wielomianu[edytuj]

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w ten sposób:

  1. Dla pierwszego węzła o wartości znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość , a w pozostałych węzłach wartość zero.
  2. Dla kolejnego węzła znajduje się podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość , a w pozostałych węzłach wartość zero.
  3. Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego.
  4. Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego.
  5. Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym.

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

Wielomian Lagrange'a[edytuj]

Postać Lagrange'a wielomianu to jedna z metod przedstawiania wielomianu, wykorzystywana często w zagadnieniach interpolacji. Dla wielomianu stopnia wybiera się punktów – i wielomian ma postać:

.

Ponieważ jest równy 1 dla równego (licznik i mianownik są równe), 0 zaś dla wszystkich innych (licznik jest równy zero), można łatwo za pomocą postaci Lagrange'a interpolować dowolną funkcję:

Wielomian ten będzie się zgadzał z funkcją we wszystkich punktach .

Dowód istnienia wielomianu interpolującego[edytuj]

Niech będą węzłami interpolacji funkcji , takimi że znane są wartości
Można zdefiniować funkcję:

,

taką że dla jest wielomianem stopnia (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem wyrazów postaci ).

Gdy i :

.

Gdy i :

(licznik = 0 ponieważ występuje element ).


Niech będzie wielomianem stopnia co najwyżej , określonym jako:

.

Dla :

.

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od są równe zeru (ponieważ dla , składnik o indeksie jest równy:

,

a więc

z czego wynika, że jest wielomianem interpolującym funkcję w punktach .

Jednoznaczność interpolacji wielomianowej[edytuj]

Dowód

Zakłada się, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany i stopnia , przyjmujące w węzłach takie same wartości.

Niech

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ i w węzłach interpolują tę samą funkcję, to , a więc (węzły interpolacji są pierwiastkami ).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że ma pierwiastków, to musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru, a ponieważ:

to

co jest sprzeczne z założeniem, że i są różne.

Błąd interpolacji[edytuj]

Dość naturalne wydaje się przyjęcie, że zwiększenie liczby węzłów interpolacji (lub stopnia wielomianu interpolacyjnego) pociąga za sobą coraz lepsze przybliżenie funkcji wielomianem . Idealna byłaby zależność:

,

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się „coraz bardziej podobny” do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równo odległych tak być nie musi → efekt Rungego.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia , przybliżającego funkcję w przedziale na podstawie węzłów, istnieje taka liczba zależna od , że dla reszty interpolacji :

,

gdzie , a jest liczbą zależną od .

Do oszacowania z góry wartości można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia do oszacowania wartości dla . Dla przedziału wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu

Zobacz też[edytuj]