Jędrna rodzina miar

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, i niech będzie σ-algebrą na zawierającą topologię (czyli każdy podzbiór otwarty w jest mierzalny, może być σ-algebrą borelowską na ). Niech będzie rodziną miar określonych na .

Rodzinę nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego istnieje zwarty podzbiór przestrzeni , że dla wszystkich miar zachodzi

.

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

.

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie zwarte[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na jest jędrna.

Rodzina mas punktowych[edytuj]

Niech dana będzie prosta rzeczywista z topologią naturalną (euklidesową). Dla niech oznacza miarę Diraca skupioną w . Wówczas rodzina

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest -miary zero dla dostatecznie dużych . Z drugiej strony, rodzina

jest ciasna: przedział zwarty będzie pełnił rolę dla dowolnego . W ogólności rodzina miar delt Diraca na jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich[edytuj]

Niech dana będzie -wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

,

gdzie zmienna losowa o rozkładzie ma wartość oczekiwaną oraz wariancję . Wtedy rodzina jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny oraz są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech będą takie, że

oraz dla wszystkich .

Niech będzie rozkładem normalnym ze średnią oraz odchyleniem standardowym . Wykarzemy, że rodzina miar jest jędrna.

Niech będzie dane . Dla oraz niech będzie dystrybuantą rozkładu normalnego i niech . Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

  • możemy znaleźć takie, że oraz ;
  • dla wszystkich .

Połóżmy

oraz .

Na mocy naszych założeń o mamy, że dla :

oraz

.

Stąd

oraz

Teraz, dla każdego mamy

,

a zbiór jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów jest jędrna.

Jędrność a zbieżność[edytuj]

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

Jędrność wykładnicza[edytuj]

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych na przestrzeni topologicznej Hausdorffa nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego istnieje podzbiór zwarty przestrzeni taki, że

.

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
  • Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2.
  • Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.