Jedynka trygonometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jedynka trygonometrycznatożsamość trygonometryczna postaci[1]:

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta , a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

Dowód[edytuj]

Sposób 1.:

Jedynka trygonometryczna.svg

Niech

Zauważmy, że:

,

więc trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej r.

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

jest równe

.

Zatem

c.b.d.o.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2.:

Ze wzoru Eulera:

oraz

.

Zatem

c.b.d.o.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Przypisy

  1. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.

Zobacz też[edytuj]