Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.$

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta $x\in \mathbb {R} ,$ a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

$\sec ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x=1,$

$\operatorname {cosec} ^{2}x-\operatorname {ctg} ^{2}x=1.$

Dowód

Sposób 1:

Niech $P=(x_{0},y_{0}),\,O=(0,0),\,X_{0}=(x_{0},0),\,\angle {POX_{0}}=\alpha ,\,|OP|=r.$

Zauważmy, że:

$|\angle {PX_{0}O}|={\frac {\pi }{2}},$

więc trójkąt $POX_{0}$ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $r.$

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2}=|x_{0}|^{2}+|y_{0}|^{2},$

$r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2},$

$1=\left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}.$

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

$\left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}$

jest równe

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha .$

Zatem

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,$

q.e.d.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2:

Ze wzoru Eulera:

$\sin {x}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

oraz

$\cos {x}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.$

Zatem

${\begin{aligned}\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}+{\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2}{4}}=1,\end{aligned}}$

q.e.d.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Sposób 3:

Niech:

$f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x.$

Zauważmy, że:

$f(0)=\sin ^{2}0+\cos ^{2}0=0^{2}+1^{2}=1.$

Także:

$f'(x)=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)'=\sin x\cos x+\sin x\cos x-\sin x\cos x-\sin x\cos x=0.$

Skoro pochodna funkcji $f(x)$ jest równa 0, to funkcja $f(x)$ musi być funkcją stałą.

Wiedząc, że $f(0)=1,$ oraz że funkcja $f(x)$ jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.$

q.e.d.

Zobacz też

• funkcje trygonometryczne
• jedynka hiperboliczna