Ałdonin urodził się w Ałupce na Krymie, ale w wieku 16 lat wyjechał z rodzicami w głąb Rosji i osiadł w Wołgogradzie. Tam też rozpoczął piłkarską karierę w klubie Rotor Wołgograd. Najpierw występował w składzie drugiej drużyny Rotoru. Do kadry pierwszej drużyny został włączony już w 1999 roku, ale nie zadebiutował w Premier Lidze i rok spędził w rezerwach. Swój pierwszy mecz ligowy rozegrał w 2000 roku, a Rotor zajął wówczas 11. pozycję w tabeli. W 2001 roku Jewgienij był już podstawowym zawodnikiem zespołu, który zakończył sezon na 10. miejscu w lidze. W marcu 2002 roku Ałdonin strzelił swoją pierwszą bramkę, a Rotor pokonał 2:1 Sokoła Saratów. W Rotorze Jewgienij występował także w 2003 roku, a klub zajął 12. lokatę w Lidze.
Przed rozpoczęciem sezonu 2004 Ałdonin przeszedł do CSKA Moskwa. W nim stał się liderem środka pola i od razu wywalczył miejsce w wyjściowej jedenastce. W tamtym roku sięgnął ze stołecznym klubem po wicemistrzostwo Rosji. Pierwszym sukcesem Jewgienija w 2005 roku było zdobycie Pucharu UEFA - Ałdonin wystąpił w wygranym 3:1 finale ze Sportingiem. W tym samym roku wywalczył inne sukcesy: mistrzostwo Rosji oraz Puchar Rosji. W 2006 roku kolejnym osiągnięciem zawodnika był drugi z rzędu dublet: mistrzostwo plus krajowy puchar. W 2008 roku zdobył kolejny krajowy puchar, a także został wicemistrzem Rosji.
W 2012 roku Ałdonin został wypożyczony do Mordowiji Sarańsk. W 2013 roku został zawodnikiem Wołgi Niżny Nowogród. W 2014 zakończył karierę piłkarza, ale po trzech latach w 2017 wrócił do grania w piłkę nozną, podpisując kontrakt z drugoligowym klubem Zorki Krasnogorsk.
W reprezentacji Rosji Ałdonin zadebiutował 21 sierpnia 2002 roku w zremisowanym 1:1 towarzyskim meczu ze Szwecją. W 2004 roku został powołany przez Georgija Jarcewa do kadry na Mistrzostwa Europy w Portugalii. Tam wystąpił we dwóch spotkaniach grupowych: przegranych 0:1 z Hiszpanią oraz 0:2 z Portugalią. Od tamtego czasu jest był zawodnikiem "Sbornej" i grał w niej do 2007 roku. Łącznie wystąpił w niej 29 razy.
