Kąty Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kąty Eulera – układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera.

Definicja formalna[edytuj]

Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych można otrzymać z danego układu przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest w dużej mierze kwestią konwencji.

Załóżmy na razie, że osie i nie są równoległe, a zatem płaszczyzna jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś na oś , jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów , tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny w punkcie . Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi i , jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i . Tak więc układ można nałożyć na , dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

  1. obrotu wokół osi , takiego aby oś pokryła się z linią węzłów
  2. obrotu wokół osi (), takiego aby oś pokryła się z osią
  3. obrotu wokół osi (), takiego aby oś pokryła się z osią (wówczas również oś pokryje się z osią ).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o ) prowadzące do ustawienia osi wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi i (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu .

Poszczególne kąty Eulera parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

  • — kąt mierzony od osi do osi węzłów w kierunku wyznaczonym osią ; jest to kąt obrotu 1.
  • — kąt mierzony od osi węzłów do osi w kierunku wyznaczonym osią ; jest to kąt obrotu 3.
  • — kąt mierzony od osi do w kierunku wyznaczonym osią węzłów ; jest to kąt obrotu 2.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi , można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów .

Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie i są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś można przekształcić na oś w wyniku obrotu (o kąt lub , zależnie od zwrotu osi ) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt i leżącej w płaszczyźnie . Mamy zatem lub , a ustawienie osi , jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów i .

Związek z macierzą obrotu[edytuj]

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych postaci:

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu do przedstawia się następująco:

Jest to macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]