k-przestrzeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

k-przestrzeńprzestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950[1] David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią - odpowiedni kontrprzykład[2] podał Clifford Hugh Dowker.

Własności[edytuj]

  • Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru potrzeba i wystarcza, aby przecięcie z każdym zwartym podzbiorem było domknięte (lub równoważnie - zwarte).
  • Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru potrzeba i wystarcza, aby przecięcie z każdym zwartym podzbiorem było otwarte.
  • Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
  • Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
  • Suma jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy jest k-przestrzenią dla każdego .
  • Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzenia[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii nazywamy rodzinę podzbiorów zbioru takich, że dla każdego zbioru zwartego . Rodzina jest również topologią w zbiorze . Przestrzeń z topologią oznacza się symbolem i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni . W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

  • topologia jest mocniejsza od wyjściowej topologii ,
  • (zob. idempotentność),
  • Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy [3].

k-ciągłość[edytuj]

Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję nazywamy k-ciągłą, gdy jest ciągła dla każdego zbioru zwartego . Jeśli symbole i oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami i , to

  • jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej [4].

Przykłady[edytuj]

  • (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k3-przestrzenie[edytuj]

Przestrzeń topologiczna nazywana jest k3-przestrzenią, gdy dla każdej przestrzeni regularnej . Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k3-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k3-przestrzenią.

Przypisy

  1. David Gale: Compact sets o functions and function rings. Proc. Amer. Soc. 1, 1950, s. 303-308.
  2. Clifford Hugh Dowker: Topology of metric complexes. Amer. Journ. of Math. 74, 1952, s. 555-577.
  3. D.E. Cohen, Spaces with weak topology, Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 5 ( 1954), 77-80
  4. Pedro Morales, Non-Hausdorff Ascoli theory, Dissertationes Math. 119 (1974), 1-37

Bibliografia[edytuj]

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 198-200.