Kapitalizacja odsetek

Kapitalizacja odsetek – dopisywanie narosłych odsetek do kapitału; powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane. Okres, po jakim narosłe odsetki są dopisywane do kapitału, jest nazywany okresem kapitalizacji.

Wzór

W przypadku oprocentowania składanego wartość kapitału końcowego, otrzymanego w wyniku kapitalizacji odsetek generowanych przez zainwestowany kapitał początkowy, można wyrazić wzorem:

$V=V_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}$$V=V_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}$

gdzie

• $V_{0}$$V_{0}$ – kapitał początkowy,
• $V$$V$ – kapitał końcowy,
• $m$$m$ – liczba kapitalizacji w roku (np. m = 2 jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, m = 4 jeśli kapitalizacja odsetek następuje co kwartał),
• $n$$n$ – czas trwania inwestycji (zakładamy, że jest wielokrotnością okresów kapitalizacji),
• $r$$r$ – nominalna stopa procentowa.

Przykład

Depozyt 1000 PLN oprocentowany na 6%, złożony na rok przy kapitalizacji półrocznej, da w dacie zapadalności wypłatę 1060,90 PLN, co wynika z następującego wyliczenia:

$1000\ \mathrm {PLN} \cdot \left(1+{\frac {0{,}06}{2}}\right)^{2}=1060{,}90\ \mathrm {PLN}$$1000\ \mathrm {PLN} \cdot \left(1+{\frac {0{,}06}{2}}\right)^{2}=1060{,}90\ \mathrm {PLN}$

Zmiana okresu kapitalizacji na miesięczny pozwala otrzymać wypłatę 1061,68 PLN, zgodnie z następującym wyliczeniem:

$1000\ \mathrm {PLN} \cdot \left(1+{\frac {0{,}06}{12}}\right)^{12}=1061{,}68\ \mathrm {PLN}$$1000\ \mathrm {PLN} \cdot \left(1+{\frac {0{,}06}{12}}\right)^{12}=1061{,}68\ \mathrm {PLN}$

Skracanie okresu kapitalizacji zwiększa kwotę wypłaty, jednakże wzrost ten jest ograniczony. Maksymalną możliwą kwotę odsetek można uzyskać przy kapitalizacji ciągłej, czyli takiej, w której okres kapitalizacji zbiega do 0. Przy stopie procentowej $r$$r$ każda zainwestowana złotówka może dać w horyzoncie roku maksymalnie wypłatę równą $e^{r}$$e^{r}$, gdzie $e$$e$ oznacza podstawę logarytmu naturalnego, gdyż

$\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=e^{r}$$\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=e^{r}$

W powyższym przykładzie maksymalna wartość wypłaty wynosi zatem

$1000\ \mathrm {PLN} \cdot e^{0{,}06}=1061{,}84\ \mathrm {PLN}$$1000\ \mathrm {PLN} \cdot e^{0{,}06}=1061{,}84\ \mathrm {PLN}$.

Zobacz też

• anatocyzm