Kiełek funkcji gładkiej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kiełek funkcji gładkiej w punkcieklasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie takie funkcje, których różnica jest równa tożsamościowo zero w pewnym otoczeniu tego punktu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{M} będzie parazwartą rozmaitością klasy \mathcal{C}^{\infty}.

Dla punktu m \in \mathcal{M} niech \mathcal{C}^{\infty}(m) oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu m\; (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).

Niech \sim będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla funkcji gładkich f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(m) zachodzi relacja f \, \sim \, g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie \mathcal{U} punktu m , że dla każdego punktu x z tego otoczenia x \in \mathcal{U}, różnica jest równa tożsamościowo zero :

f(x) \sim_m g(x).

Zbiór funkcji gładkich g tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej f\; w punkcie m\;[1][2].

[f]_m = \{g\in \mathcal{C}^{\infty}(m) : g \sim_m f\}.

Znaczenie[edytuj | edytuj kod]

Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli f(x) \ne g(x), to [f]_x \ne [g]_x, bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego U \ni x, że dla każdego y \in U zachodzi nierówność f(x) \ne g(x).
  • W zbiorze \mathcal{F} = \bigcup_{m \in \mathcal{M}} \mathcal{C}^{\infty}_{m} można określić topologię. Jej bazą są zbiory U_f = \{[f]_x: x \in U\}, gdzie f\; jest reprezentantem elementu F \in \mathcal{F}, a zbiór U jest podzbiorem otwartym rozmaitości \mathcal{M}[1].
  • Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli [f]_x \ne [g]_x i jednocześnie f(x) = g(x), to x \in \overline{\{y: f(y) \ne g(y) \}}. Wtedy U_f \cap V_g \ne \varnothing dla każdych dwóch zbiorów otwartych U \ni x, V \ni x, bowiem istnieje taki punkt x_0 \in U \cap V, że f(x_0) \ne g(x_0), czyli [f]_{x_0} \ne [g]_{x_0}.
  • W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy  \mathcal{C}^k (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych[1].
  • Przestrzeń toologiczna \mathcal{F} wraz z rozmaitością \mathcal{M} rzutowaniem  \pi:[f]_x \to x tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości \mathcal{M}, co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Można je składać i różniczkować[2].
  • W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k[2] lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni \mathbb{C} lub \mathbb{C}^n[3], gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.
  • W zbiorze kiełków funkcji gładkich \mathcal{C}^{\infty}_{m} = \mathcal{C}^{\infty}(m) / \sim można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie m\; klasy \mathcal{C}^{\infty}[1].

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Steven G. Kranz: Teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych. Warszawa: PWN, 1991, s. 203, 204. ISBN 83-01-10048-6.
  2. 2,0 2,1 2,2 Th. Bröcker, L. Lander: Differentiable Germs and Katastrophes. Moskwa: Mir, 1977, s. 9–18. (ros.)
  3. B. W. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 153–157.