Kiełek funkcji gładkiej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kiełek funkcji gładkiej w punkcieklasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie takie funkcje, których różnica jest równa tożsamościowo zero w pewnym otoczeniu tego punktu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{M} będzie parazwartą rozmaitością klasy \mathcal{C}^{\infty}. Dla punktu m \in \mathcal{M} niech \mathcal{C}^{\infty}(m) oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu m\; (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji). Niech \sim będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(m) zachodzi relacja f \, \sim \, g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie m \in \mathcal{U}, że dla każdego x \in \mathcal{U}, f(x) = g(x).

Klasy abstrakcji [f]_m tak określonej relacji równoważności nazywane są kiełkami funkcji gładkiej f\; w punkcie m\;[1][2].

W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k[2] lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni \mathbb{C} lub \mathbb{C}^n[3], gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.

W zbiorze kiełków funkcji gładkich \mathcal{C}^{\infty}_{m} = \mathcal{C}^{\infty}(m) / \sim można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie m\; klasy \mathcal{C}^{\infty}[1].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli f(x) \ne g(x), to [f]_x \ne [g]_x, bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego U \ni x, że dla każdego y \in U zachodzi nierówność f(x) \ne g(x).
  • W zbiorze \mathcal{F} = \bigcup_{m \in \mathcal{M}} \mathcal{C}^{\infty}_{m} można określić topologię. Jej bazą są zbiory U_f = \{[f]_x: x \in U\}, gdzie f\; jest reprezentantem elementu F \in \mathcal{F}, a zbiór U jest podzbiorem otwartym rozmaitości \mathcal{M}[1].
  • Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli [f]_x \ne [g]_x i jednocześnie f(x) = g(x), to x \in \overline{\{y: f(y) \ne g(y) \}}. Wtedy U_f \cap V_g \ne \varnothing dla każdych dwóch zbiorów otwartych U \ni x, V \ni x, bowiem istnieje taki punkt x_0 \in U \cap V, że f(x_0) \ne g(x_0), czyli [f]_{x_0} \ne [g]_{x_0}.
  • Pojęcie to zostało stworzone po to, aby badać lokalne własności funkcji.
  • W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy  \mathcal{C}^k (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych[1].
  • Przestrzeń toologiczna \mathcal{F} wraz z rozmaitością \mathcal{M} rzutowaniem  \pi:[f]_x \to x tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości \mathcal{M}, co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Kiełki mają podobne własności, jak funkcje. W szczególności dobrze oddają lokalne własności funkcji. Można je składać i różniczkować[2].

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Steven G. Kranz: Teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych. Warszawa: PWN, 1991, s. 203, 204. ISBN 83-01-10048-6.
  2. 2,0 2,1 2,2 Th. Bröcker, L. Lander: Differentiable Germs and Katastrophes. Moskwa: Mir, 1977, s. 9–18. (ros.)
  3. B. W. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 153–157.