Kiełek funkcji gładkiej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kiełek funkcji gładkiej w punkcieklasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie takie funkcje, których różnica jest równa tożsamościowo zero w pewnym otoczeniu tego punktu.

Definicja[edytuj]

Niech będzie parazwartą rozmaitością klasy .

Dla punktu niech oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).

Niech będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla funkcji gładkich zachodzi relacja wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie punktu m , że dla każdego punktu x z tego otoczenia , różnica jest równa tożsamościowo zero :

.

Zbiór funkcji gładkich tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej w punkcie [1][2].

Znaczenie[edytuj]

Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.

Uwagi[edytuj]

  • Jeśli , to , bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego , że dla każdego zachodzi nierówność .
  • W zbiorze można określić topologię. Jej bazą są zbiory , gdzie jest reprezentantem elementu , a zbiór jest podzbiorem otwartym rozmaitości [1].
  • Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli i jednocześnie , to . Wtedy dla każdych dwóch zbiorów otwartych , bowiem istnieje taki punkt , że , czyli .
  • W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych[1].
  • Przestrzeń toologiczna wraz z rozmaitością rzutowaniem tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości , co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Można je składać i różniczkować[2].
  • W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji [2] lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni lub [3], gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.
  • W zbiorze kiełków funkcji gładkich można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie klasy [1].

Przypisy

  1. a b c d Steven G. Kranz: Teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych. Warszawa: PWN, 1991, s. 203, 204. ISBN 83-01-10048-6.
  2. a b c Th. Bröcker, L. Lander: Differentiable Germs and Katastrophes. Moskwa: Mir, 1977, s. 9–18. (ros.)
  3. B. W. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 153–157.