Klasa (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady[edytuj]

Przykłady klas:

  • Klasa wszystkich zbiorów – rozważanie zbiorów wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
  • Klasa wszystkich liczb porządkowych – rozważanie zbioru wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
  • Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
  • Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
  • Uniwersum konstruowalne.

Klasy jako formuły[edytuj]

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha[1]. W książce tej, dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród oraz parametrów , wprowadza się klasę definiowaną przez z parametrów jako . Tak więc dla klasy zdefiniowanej przez z parametrów mamy

wtedy i tylko wtedy, gdy .

Klasy zdefiniowane przez , (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli gdy

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Kelleya-Morse’a[edytuj]

John L. Kelley[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse’a. Jest to teoria w języku ; obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „ jest zbiorem” jest formułą ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse’a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

  • Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
  • Dla każdej formuły języka wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:
.
  • Aksjomat pary (dla każdych zbiorów istnieje zbiór , którego jedynymi elementami są x i y).
  • Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
  • Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
  • Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
  • Aksjomat nieskończoności:
  • Aksjomat regularności:
.

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości[4] na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG[edytuj]

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

jest określona tylko wtedy, gdy jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

  • Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
  • Dla każdej formuły , w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę.
  • Aksjomat pary (dla każdych zbiorów istnieje zbiór którego jedynymi elementami są x i y).
  • Dla każdej klasy C,
istnieje zbiór c taki że wtedy i tylko wtedy, gdy
nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
  • Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
  • Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
  • Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór w taki że
  • Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy, gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

  1. Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.
  2. Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.
  3. Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
  4. Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.