Klasa sprzężoności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Klasa sprzężonościpodzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: relacja równoważności.

Niech będzie grupą. Elementy sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element taki, że

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez są równe, jeżeli są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element to zbiór

nazywany klasą abstrakcji elementu

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Grupa symetryczna składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

  • brak zmian (abc → abc),
  • zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba),
  • cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab).

Grupa symetryczna składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista według rzędu):

  • brak zmian (1),
  • zamiana dwóch elementów miejscami (6),
  • cykliczna permutacja trzech elementów (8),
  • cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6),
  • zamiana miejscami dwóch par elementów (3).

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów na cykle z dokładnością do permutacji elementów

Działanie grupy[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: działanie grupy.

Dla danej grupy klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy na zbiorze wszystkich podzbiorów

lub na zbiorze wszystkich podgrup Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli skończona grupa działa na sobie przez sprzężenia, a jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

Stwierdzenie
Jeżeli element jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego zachodzi
Innymi słowy klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do Niech będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę można przedstawić w postaci
gdzie dla Równanie klas przybiera wówczas postać
Twierdzenie
Jeśli grupa jest rzędu gdzie jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto,
Korzystając z powyższego stwierdzenia jest
gdzie dla

Na mocy twierdzenia Lagrange’a, każdy indeks jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby a więc i dzieli Ponadto gdyż należy do niego element neutralny.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]