Klasa sprzężoności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Klasa sprzężonościpodzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja[edytuj]

 Osobny artykuł: relacja równoważności.

Niech będzie grupą. Elementy sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element taki, że .

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez są równe, jeżeli są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element to zbiór

nazywany klasą abstrakcji elementu .

Przykłady[edytuj]

Grupa symetryczna , składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

  • brak zmian (abc → abc)
  • zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
  • cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab)

Grupa symetryczna , składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista według rzędu):

  • brak zmian (1)
  • zamiana dwóch elementów miejscami (6)
  • cykliczna permutacja trzech elementów (8)
  • cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6)
  • zamiana miejscami dwóch par elementów (3)

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej . Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów na cykle z dokładnością do permutacji elementów .

Działanie grupy[edytuj]

 Osobny artykuł: działanie grupy.

Dla danej grupy klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

.

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy na zbiorze wszystkich podzbiorów :

lub na zbiorze wszystkich podgrup . Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności[edytuj]

Jeżeli skończona grupa działa na sobie przez sprzężenia, a jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

.
Stwierdzenie
Jeżeli element jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego zachodzi
.
Innymi słowy klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do . Niech będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę można przedstawić w postaci
,
gdzie dla . Równanie klas przybiera wówczas postać
.
Twierdzenie 
Jeśli grupa jest rzędu , gdzie jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, .
Korzystając z powyższego stwierdzenia jest
,
gdzie dla . Na mocy twierdzenia Lagrange'a, każdy indeks jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby , a więc i dzieli .

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też[edytuj]