Koło Mohra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rys. 1 – koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia. Punkt reprezentujący naprężenia normalne i styczne działające w przekroju dowolnie zorientowanym leży w zielonym obszarze.

Koło Mohra (koło naprężeń) – graficzna reprezentacja (rys. 1) stanu naprężenia[1][2], opracowana przez niemieckiego inżyniera Christiana Mohra.

Uwagi ogólne[edytuj | edytuj kod]

Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku[3], a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu naprężenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrocie układu współrzędnych, ze względu na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje.

Koło Mohra mimo, że jest konstrukcją graficzną pozwala, na podstawie danych liczbowych, obliczać wartości naprężeń na podstawie prostych związków geometrycznych[1].

Płaski stan naprężenia[edytuj | edytuj kod]

Koło Mohra jest wygodnym narzędziem analizy płaskiego stanu naprężenia w wybranym punkcie ośrodka sprężystego[4]. Najczęściej jego konstruowanie odbywa się na podstawie znajomości naprężeń normalnych i stycznych występujących w tym punkcie i działających na półpłaszczyzny i określone przez ich wersory   (rys. 2a-c).

Rys. 2a – koło Mohra i naprężenia

Koło budujemy w układzie współrzędnych [2]. Jego środek ma w tym układzie współrzędne promień zaś ma długość (rys. 2a). Na tym rysunku kierunek wersora określa prosta wyznaczona przez punkty przy czym współrzędne punktu określają naprężenia działające na punkt półpłaszczyzny . Po obrocie wersora o kąt przyjmuje on pozycję W tym przypadku punkt ma współrzędne określające stan naprężenia w punkcie półpłaszczyzny (rys. 2c).

Jest istotne, że kąty są odmierzane od kierunku osi czyli od kierunku wersora wskazującego kierunek naprężenia głównego (rys. 2a)[4].

Rys. 2b-e – naprężenia w punkcie półpłaszczyzn

Rysunki 2b-e ilustrują stany naprężeń występujące w punkcie półpłaszczyzn o wersorach

Warto zauważyć, że obrotowi wersora o kąt odpowiada pełne okrążenie punktu po okręgu Mohra. Wynika stąd, że dalszemu obrotowi wersora odpowiada powtórny obieg punktu po tym okręgu.

W przypadku obciążenia hydrostatycznego, tzn. gdy koło Mohra redukuje się do punktu

Gdy środek koła pokrywa się z początkiem układu współrzędnych Wówczas w punkcie na półpłaszczyznach i naprężenia normalne mają wartości zerowe, a naprężenia styczne – wartości ekstremalne Jest to przypadek czystego ścinania w punkcie [4].

Płaski „stan bezwładności”[edytuj | edytuj kod]

Rys. 3 – koło Mohra dla momentów bezwładności

Koło Mohra może być także wykorzystane (rys. 3a) do opisu związków zachodzących pomiędzy momentami bezwładności i momentami dewiacyjnymi dowolnej figury płaskiej[4], liczonymi względem układu współrzędnych (rys. 3b-c). Przy tym obliczeniu figura zajmuje położenie określone wersorem tej osi głównej, centralnej, względem której główny moment bezwładności ma mniejszą wartość.

Elipsa bezwładności[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie konstrukcji koła Mohra można podać alternatywny sposób obliczania momentu bezwładności dowolnej figury płaskiej[4], względem osi odchylonej o kąt od kierunku centralnej osi głównej.

Rys. 4 – elipsa i promienie bezwładności

Wprowadźmy do rozważań nową wielkość tzw. promień bezwładności liczony prostopadle do osi od środka elipsy do jej stycznej poprowadzonej w punkcie (rys. 4). Jest on określony wzorem

w którym oznacza pole rozważanej figury.

Zbudujmy teraz tzw. elipsę bezwładności[4], o półosiach mających długość głównych promieni bezwładności

(rys. 4).

W tym celu skorzystamy ze wzoru wynikającego z rys. 3.

Stąd dla promieni bezwładności mamy

(a)  

Powstaje jednak pytanie czy wielkość obliczona tym wzorem jest istotnie promieniem bezwładności względem osi

Obliczmy odległość osi od stycznej (rys. 4).

Wykorzystamy w tym celu dwa równania elipsy

Związek pomiędzy kątami i otrzymamy, obliczając pochodną funkcji w kierunku stycznej w punkcie

Stąd

(b)  

Teraz możemy napisać (na podstawie rys. 4)

Po wykorzystaniu związków (b) i (a) i prostych przekształceniach otrzymujemy

Zatem istotnie jest prostopadłą odległością pomiędzy osią a styczną (rys. 4), czyli jest, zgodnie z definicją, promieniem bezwładności względem tej osi[4].

Rdzeń przekroju[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy przekrój poprzeczny pręta prostego, poddanego ściskaniu (lub rozciąganiu) mimośrodowym siłą skupioną działającą na mimośrodach i (rys. 5) liczonych względem centralnych głównych osi bezwładności przekroju[4].

W przekroju takim można wyróżnić obszar, nazywany jego rdzeniem lub jądrem, o tej własności, że działanie siły w tym obszarze wywołuje naprężenia stałego znaku w całym przekroju poprzecznym. Naprężenia te można obliczyć wzorem

w którym

– jest polem powierzchni przekroju poprzecznego,
– jego promieniami bezwładności,
– współrzędnymi punktu przyłożenia siły
– współrzędnymi punktu, w którym obliczane są naprężenia.

Równanie osi obojętnej ma postać[4]

(1)  

z której wynika, że każdej stycznej do konturu przekroju poprzecznego odpowiada pewien punkt przyłożenia siły

Jeżeli zbudujemy obwiednię konturu przekroju poprzecznego w postaci linii łamanej złożonej z odcinków stycznych do tego konturu, to z równania (1) wynika również, że każdemu wierzchołkowi obwiedni odpowiada prosta po której porusza się punkt gdy styczna obraca się wokoło wierzchołka

Rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą. Mieści się ona zawsze wewnątrz obwiedni (obrysu) konturu przekroju.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rys. 5 – rdzeń przekroju; linią przerywaną zaznaczono fragment jego obwiedni

Dla przykładu wyznaczymy kontur rdzenia przekroju poprzecznego pokazanego na rys. 5. Ponieważ dla tego przekroju mamy

więc równanie (1) przybiera postać

(2)  

w której są współrzędnymi wierzchołka obwiedni przekroju poprzecznego.

Dla wierzchołka tej obwiedni mamy i i z równania (2) otrzymujemy równanie prostej równoległej do osi

Dla wierzchołka mamy i równanie (2) przybiera postać

(3)  

Jest to równanie linii konturowej rdzenia, którą wyznaczymy na podstawie dwu znanych jej punktów o współrzędnych oraz

Dla wierzchołka mamy i otrzymujemy równanie (2) o postaci

(4)  

Linię konturową rdzenia określają punkty oraz

Wyznaczone trzy linie konturowe opisują kształt połowy rdzenia (rys. 5). Druga połowa jest symetryczna względem osi ze względu na symetrię przekroju poprzecznego.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że ustawieniu siły w narożu konturu rdzenia odpowiada styczna do konturu przekroju. Pokażemy to przykładowo dla naroża Jego współrzędne określimy, znajdując punkt przecięcia się prostych

Prosta prosta

Podstawiając otrzymujemy

Jeżeli teraz współrzędne naroża podstawimy do równania (2), to otrzymamy równanie stycznej do konturu przekroju

Styczna ta przechodzi przez dwa punkty

oraz

i jak wynika z rys. 5, również przez naroża przekroju poprzecznego.

Jak widać istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość: wierzchołkowi obwiedni przekroju poprzecznego odpowiada prosta konturu rdzenia i odwrotnie – wierzchołkowi rdzenia odpowiada styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Г.С. Писаренко, Сопротивлене материалов, Гос. Издат. Технической литературы УССР, Киев 1963.
  2. a b С.П. Тимошөнҝо, Сопротивлене материалов, Физматгиз, Мосқва 1960.
  3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków, 1980.
  4. a b c d e f g h i N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, 1954, Wyd. Ministerstwa Obrony Narodowej.