Kolejność wykonywania działań

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kolejność wykonywania działań (w terminologii uniwersyteckiej reguły opuszczania nawiasów) – konwencja skracająca zapis matematyczny.

Obliczenia wartości wyrażenia algebraicznego, w którym występują nawiasy, zaczyna się od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych. Uwaga: w zapisie potęg, pierwiastków i ułamków (z kreską poziomą) mogą tkwić ukryte nawiasy, a mianowicie:

a^w=a^{(w)} \,,
\sqrt{w}=\sqrt{(w)},
\frac{u}{w}=\frac{(u)}{(w)};

gdzie u\;, w\; są dowolnymi wyrażeniami.

Przyjmuje się też, że potęgowanie ma pierwszeństwo przed kreską ułamkową i znakiem minus:

-u^w = -(u^w)\;
 \frac {u^w} z = \frac {(u^w)} z \;

Minus, oznaczający liczbę przeciwną, tworzy nawias ukryty (ma pierwszeństwo) przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem.

 -2+3 = (-2) + 3 \;

Dodawanie i odejmowanie traktuje się równorzędnie i wykonuje się od lewej do prawej:

1+2-3+4=((1+2)-3)+4\;

Potęgowania wykonuje się od prawej do lewej, np.

4^{3^2} = 4^{(3^2)} = 4^9 = 262144

Jest to związane również z ekonomią zapisu – gdyby piętrowe potęgowanie wykonywać od lewej do prawej, zapis taki stałby się równoważny iloczynowi w wykładniku:

\left(a^b\right)^c = a^{bc}, \quad \left(4^3\right)^2 = 64^2 = 4096 = 4^6 = 4^{3\cdot 2}.

Dla dzielenia zapisywanego kreską ukośną / i mnożenia kolejność nie jest dokładnie ustalona. PWN zaleca autorom podręczników uniwersyteckich unikanie sytuacji w których mogłoby to doprowadzić do niejednoznaczności, np. 1/x \sin x\; można interpretować jako \tfrac{1}{x\sin x} lub \tfrac{1}{x}\sin x.

Gdy nie ma nawiasów, to najpierw wykonuje się potęgowanie i pierwiastkowanie; potem znak "minus" oznaczający przeciwieństwo, następnie mnożenie i dzielenie (napisane przez dwukropek lub kreskę pochyłą); a na końcu dodawanie, odejmowanie.

Gdy powyższe reguły nie wyjaśniają porządku wykonywania (np. występuje kilkukrotne dzielenie: 1/2/3), to poprawny wynik daje wykonywanie mnożeń, dzieleń, dodawań i odejmowań od lewej strony do prawej (w przykładzie powyżej poprawnym wynikiem jest 1/6), zaś potęgowań od prawej do lewej.


Można określić następujące reguły kolejności wykonywania działań:

Poziomy działań

  1. dodawanie ("+") i odejmowanie ("−"),
  2. mnożenie ("×" lub "*" lub "•" lub z pominięciem symbolu, np. ab = a*b) i dzielenie (":" lub "÷" lub "/"),
  3. potęgowanie ("^") i pierwiastkowanie.

Umowy syntaktyczne

  1. W pierwszej kolejności pozbywa się nawiasów jawnych i ukrytych, tj. rozpoczynając od nawiasów najbardziej wewnętrznych wykonuje się operacje wewnątrz nich zgodnie z poziomami i umowami syntaktycznymi,
  2. Operacje wyższego poziomu mają pierwszeństwo przed operacjami niższego poziomu (tzn. działania z poziomu 2 wykonuje się przed operacjami z poziomu 1)[1] – np. 10 + 3 × 8 = 10 + (3 × 8) = 10 + 24 = 34,
  3. Jeżeli w jakimś wyrażeniu sąsiadujące działania należą do tego samego poziomu, to wykonuje się je po kolei:
    1. od lewej do prawej w przypadku poziomu 1 i 2 – np. 6:2•3 = (6:2)•3 = 3•3 = 9,
    2. od prawej do lewej w przypadku poziomu 3 – np. 423 = 48 = 65536[2].


Dla przypadku funkcji (np. logarytm, sinus) nie ustalono podobnie ścisłych i prostych reguł kolejności wykonywania. Dla uniknięcia nieporozumień zalecane jest używanie nawiasów. Istnieją jednak pewne tradycje, na przykład w wyrażeniu \sin 2x najpierw wykonuje się mnożenie, a potem wyznacza sinus; natomiast w wyrażeniu \sin x \sin y najpierw wykonuje się wyznaczenie obydwu sinusów, a następnie mnożenie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kalkulatory (np. w postaci programu - vide kalkulator systemowy MS Windows) mogą stosować w trybie prostym wykonywanie operacji wyłącznie z lewej na prawo (czyli 1+2*3 = (1+2)*3 = 3*3 = 9), natomiast w trybie naukowym i programistycznym – zgodnie z zasadami kolejności (tj. 1+2*3 = 1+(2*3) = 1+6 = 7).
  2. Zapis 423 jest równoważny zapisowi 4^2^3, który jest stosowany np. w kalkulatorach (urządzeniach i programach) oraz np. arkuszach kalkulacyjnych. Może on być jednak interpretowany (np. w programie kalkulator HEXelon Max, kalkulator systemowy MS Windows, arkuszach MS Excel, LibreOffice Calc) jako (4^2)^3 = 16^3 = 4096, czyli z wykonywaniem operacji z lewej na prawo. Znane są przypadki, gdy kalkulatory sprzętowe tej samej firmy, ale różnych modeli wykonują ww. operacje różnie, np. kalkulatory Texas Instruments TI-92 and TI-30XII – pierwszy wylicza 4^2^3 jako 4^(2^3), a drugi jako (4^2)^3.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]