Kombinacja bez powtórzeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.




permutacja bez powtórzeń
permutacja z powtórzeniami


kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami


wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami


liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera


zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń


Kombinacja bez powtórzeń – dowolny podzbiór zbioru skończonego. Jeśli zbiór jest n-elementowy, 0 ≤ kn, to k-elementowy podzbiór jest określany jako k-elementowa kombinacja zbioru n-elementowego. Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub po prostu "kombinacja z n po k".

Dopełnieniem kombinacji z n po k jest kombinacja z n po nk.

Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:

Każda kombinacja n po k jest klasą abstrakcji wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego różniących się między sobą jedynie kolejnością elementów.

Kombinację n po k można interpretować jako ściśle rosnącą funkcję {1,...k}→{1,...,n}.

Przykłady[edytuj]

  • Liczba kombinacji 2-elementowych zbioru 4-elementowego A={a, b, c, d} jest równa .
    Kombinacjami są podzbiory: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.
  • Liczba kombinacji 6-elementowych zbioru 49-elementowego jest równa
  • Ilość wyników losowań w Lotto, w których dokładnie liczb spośród 6 (na 49) jest trafnych:
Jest to bowiem iloczyn ilości kombinacji tj. ilości sposobów, na które można trafić dokładnie k liczb spośród 6, oraz ilości kombinacji tj. ilości sposobów, na które można chybić pozostałe 6-k liczb. W szczególności:
  • ilość możliwych wyników z trafioną „szóstką”:
  • ilość możliwych wyników z trafioną „piątką”:
  • ilość możliwych wyników z trafioną „czwórką”:
  • ilość możliwych wyników z trafioną „trójką”:


Z dwóch ostatnich przykładów łatwo ustalić prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” Lotto:

,

prawdopodobieństwo trafienia co najmniej „trójki”:

lub prawdopodobieństwo trafienia dokładnie „czwórki” i odpowiednio „trójki”:

oraz

Zobacz też[edytuj]