Kombinacja bez powtórzeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.




permutacja bez powtórzeń
permutacja z powtórzeniami


kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami


wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami


liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera


zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń


Kombinacja bez powtórzeń – dowolny podzbiór zbioru skończonego. Jeśli zbiór jest n-elementowy, 0 ≤ kn, to k-elementowy podzbiór jest określany jako k-elementowa kombinacja zbioru n-elementowego. Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub po prostu "kombinacja z n po k".

Dopełnieniem kombinacji z n po k jest kombinacja z n po nk.

Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:

Każda kombinacja n po k jest klasą abstrakcji wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego różniących się między sobą jedynie kolejnością elementów.

Kombinację n po k można interpretować jako ściśle rosnącą funkcję {1,...k}→{1,...,n}.

Przykłady[edytuj]

  • Liczba kombinacji 2-elementowych zbioru 4-elementowego A={a, b, c, d} jest równa . Kombinacjami są podzbiory: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.
  • Prawdopodobieństwo trafienia "szóstki", tj. wszystkich liczb podczas losowania Lotto (wszystkich 6 z 49) wynosi
  • Prawdopodobieństwo, że podczas losowania Lotto trafimy dokładnie liczb spośród 6 (na 49) wynosi

Bierze się to stąd, że wszystkich możliwych wyników losowań jest ; na sposobów można trafić dokładnie k liczb spośród 6; na sposobów można chybić pozostałe 6-k liczb.

Zatem prawdopodobieństwo trafienia "piątki" wynosi

"czwórki":

"trójki":

Prawdopodobieństwo trafienia co najmniej trzech liczb można obliczyć jako

gdzie to prawdopodobieństwo trafienia dokładnie liczb.

Zobacz też[edytuj]