Kombinacja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy przykładów i uogólnionych definicji kombinacji liniowych. Zobacz też: podstawową definicję kombinacji liniowej układu wektorów.

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

Definicja dla przestrzeni wektorowych[edytuj]

Uwaga[edytuj]

Z definicji wynika, że kombinacja liniowa ma skończony charakter, tzn. kombinacja liniowa zawiera tylko skończenie wiele wektorów (poza przypadkami opisanymi w sekcji Uogólnienia).

Niekiedy dodatkowo przyjmuje się, że dla kombinacja liniowa jest wektorem zerowym w

Przykłady[edytuj]

Wektory[edytuj]

 Zobacz też: wektor.

Niech będzie ciałem liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa będzie przestrzenią euklidesową Rozpatrzmy wektory

oraz

Wówczas dowolny wektor z jest kombinacją liniową wektorów

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor z wtedy:

Funkcje[edytuj]

 Zobacz też: funkcjaprzestrzeń funkcyjna.

Niech będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych

Rozważmy wektory (funkcje) określone wzorami

gdzie jest podstawą logarytmu naturalnego, a to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych oraz mają postać:

Z drugiej strony funkcja stała równa nie jest kombinacją liniową i .

Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonych byłoby:

dla wszystkich liczb rzeczywistych . Ale podstawienia i dają równania oraz , co prowadzi do sprzeczności.

Wielomiany[edytuj]

Niech będzie dowolnym ciałem, a będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):

Przypuśćmy, że wielomian jest kombinacją liniową tzn.:

W celu znalezienia wartości współczynników wymnożyć wielomiany przez te współvczynniki i zgrupować wg potęg :

.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.


Z kolei przypuszczenie, że wielomian jest kombinacją liniową prowadzi do równości:

.

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników daje fałszywą równość

Stąd nie można przedstawić jako kombinacji liniowej wektorów

Liniowa niezależność[edytuj]

 Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Jeżeli jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe[edytuj]

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacji Ograniczenia na współczynniki Nazwa zbioru Model przestrzeni
Kombinacja liniowa brak podprzestrzeń liniowa
Kombinacja afiniczna podprzestrzeń afiniczna hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa stożek wypukły ćwiartka/oktant
Kombinacja wypukła oraz zbiór wypukły sympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a miary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad ciałem uporządkowanym (lub pierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłącznie mnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

Teoria operadów[edytuj]

W bardziej abstrakcyjnym języku teorii operadów można rozważać przestrzenie liniowe jako algebrę nad operadem (nieskończona suma prosta, w której tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych; odpowiada to braniu wyłącznie sum skończonych), które parametryzują kombinacje liniowe: wektor odpowiada na przykład kombinacji liniowej W podobny sposób można rozpatrywać kombinacje afiniczne, stożkowe, czy sferyczne tak, by odpowiadały podoperadom, których odpowiednio suma współczynników wynosi jeden, wszystkie współczynniki są nieujemne oraz oba te ograniczenia naraz. Graficznie tworzą one nieskończoną hiperpłaszczyznę afiniczną, nieskończony hiperoktant i nieskończony sympleks. Formalizuje to, co rozumie się przez standardowe modele czy sympleksów i takie obserwacje jak każda ograniczona wielokomórka wypukła jest obrazem sympleksu. Podoperady odpowiadają tu bardziej ograniczającym operacjom, a przez to ogólniejszym teoriom.

Z tego punktu widzenia o kombinacjach liniowych można myśleć jako o najogólniejszych możliwych operacjach na przestrzeni liniowej – stwierdzenie, iż przestrzeń liniowa jest algebrą nad operadem kombinacji liniowych jest dokładnie tym samym, co stwierdzenie, że kombinacje liniowe obejmują wszystkie możliwe operacje na przestrzeni liniowej.

Podstawowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar, wraz z istnieniem elementu neutralnego i odwrotnych dodawania, nie mogą być połączone w bardziej skomplikowany sposób niż w zwykłej kombinacji liniowej: wspomniane podstawowe operacje są zbiorem generującym operadów wszystkich kombinacji liniowych.

Ostatecznie fakt ten tłumaczy użyteczność kombinacji liniowych podczas studiowania przestrzeni liniowych.

Uogólnienia[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią liniowo-topologiczną, to być może istnieje sposób na sensowne określenie nieskończonych kombinacji liniowych za pomocą topologii w Przykładowo, być może można mówić o sumie

ciągnącej się w nieskończoność. Nie zawsze takie nieskończone kombinacje liniowe mają sens; jednakże jeżeli tak jest, to nazywa się je zbieżnymi. Rozpatrywanie większej liczby kombinacji liniowych może prowadzić w tym przypadku do różnych definicji powłoki liniowej, liniowej niezależności i bazy. Artykuły opisujące przestrzenie liniowo-topologiczne traktują o nich bardziej szczegółowo.

Jeżeli jest pierścieniem przemiennym, nie zaś ciałem, to wszystko, co zostało napisane wyżej, uogólnia się do tego przypadku bez żadnych zmian. Jedyną różnicą jest, iż przestrzenie nazywa się wtedy modułami, a nie przestrzeniami liniowymi. Każdą grupę abelową można w naturalny sposób rozpatrywać jako moduł nad pierścieniem liczb całkowitych; prowadzi to do pojęć takich jak (liniowa) niezależność oraz ranga rozpatrywanych w tych grupach.

Jeżeli jest pierścieniem nieprzemiennym, to pojęcie to nadal uogólnia się w analogiczny sposób z jednym zastrzeżeniem: moduły nad pierścieniami nieprzemiennymi mogą być lewostronne bądź prawostronne, zatem istnieją tak lewo- jak i prawostronne kombinacje liniowe – zależnie od rozpatrywanego modułu – należy zatem zwracać uwagę na branie mnożenia skalarnego z właściwej strony.

Bardziej złożony jest przypadek, gdy jest bimodułem nad dwoma pierścieniami oraz W tym wypadku najogólniejsza kombinacja liniowa ma postać

gdzie należą do a należą do zaś należą do