Kombinacja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem . Niech będzie skończonym układem wektorów przestrzeni i niech będzie skończonym układem skalarów ciała .

Kombinacją liniową układu wektorów o współczynnikach nazywa się wektor:

[1][2][3][4].

O wektorze mówi się również, że wyraża się liniowo przez układ [1].

Uwaga

Określenie skończony układ wektorów można rozumieć jako skończony zbiór wektorów, jednak ze względu na iteracyjny charakter pojęcia, wygodnie jest również traktować go jako układ indeksowany wektorów czyli po prostu jako ciąg.


Pojęcie liniowej kombinacji można uogólnić na dowolne, niekoniecznie skończone zbiory (układy) wektorów.

Niech będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni i niech będzie układem skalarów ciała , przy czym dla skończonej ilości wskaźników .

Kombinacją liniową układu wektorów o współczynnikach nazywa się wektor:

[5]

Przykłady[edytuj]

Wektory w przestrzeni euklidesowej[edytuj]

Niech będzie ciałem liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa będzie przestrzenią euklidesową Rozpatrzmy wektory

oraz

Wówczas dowolny wektor z jest kombinacją liniową wektorów

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor z wtedy:

Funkcje[edytuj]

 Zobacz też: funkcjaprzestrzeń funkcyjna.

Niech będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych

Rozważmy wektory (funkcje) określone wzorami

gdzie jest podstawą logarytmu naturalnego, a to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych oraz mają postać:

Z drugiej strony funkcja stała równa nie jest kombinacją liniową i .

Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonych byłoby:

dla wszystkich liczb rzeczywistych . Ale podstawienia i dają równania oraz , co prowadzi do sprzeczności.

Wielomiany[edytuj]

Niech będzie dowolnym ciałem, a będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):

Przypuśćmy, że wielomian jest kombinacją liniową tzn.:

W celu znalezienia wartości współczynników wymnożyć wielomiany przez te współvczynniki i zgrupować wg potęg :

.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.


Z kolei przypuszczenie, że wielomian jest kombinacją liniową prowadzi do równości:

.

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników daje fałszywą równość

Stąd nie można przedstawić jako kombinacji liniowej wektorów

Liniowa niezależność[edytuj]

 Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Jeżeli jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe[edytuj]

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacji Ograniczenia na współczynniki Nazwa zbioru Model przestrzeni
Kombinacja liniowa brak podprzestrzeń liniowa
Kombinacja afiniczna podprzestrzeń afiniczna hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa stożek wypukły ćwiartka/oktant
Kombinacja wypukła oraz zbiór wypukły sympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a miary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad ciałem uporządkowanym (lub pierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłącznie mnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

Przypisy

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.87
  2. Axler 2014 ↓, s. 28.
  3. Cohn 1994 ↓, s. 9.
  4. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978; s. 21, Definicja I.2.1
  5. Białynicki-Birula 1976 ↓, s. 50.

Bibliografia[edytuj]

  1. Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 2014.
  2. Paul Moritz Cohn: Elements of Linear Algebra. Boca Raton-London-New York-Washington D.C.: Chapman & Hall / CRC, 1994.
  3. Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna.