Kresy dolny i górny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kres (kraniec) dolny (łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (łac. supremum) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Zbiory liczbowe[edytuj]

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Definicje[edytuj]

Niech jest niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru nazywamy liczbę spełniającą:

dla wszystkich elementów .

Zamiennie używa się również określeń odpowiednio: majoranta dla ograniczenia górnego i minoranta dla ograniczenia dolnego.

Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę spełniającą:

  • jest ograniczeniem górnym zbioru ;
  • jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru , to .

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru oznaczamy , kres dolny . Zapisy oraz oznaczają, że jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności[edytuj]

  • Każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.
  • Przypuśćmy że jest niepustym zbiorem oraz , wówczas
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz ;
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .
  • Jeżeli oraz oznaczymy , to:
    ,
    .

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli , to:
    • ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
    • ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
  • Niech . Wówczas:
    • . Choć zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.
    • . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
  • Niech . Wówczas podobnie jak dla zbioru , oraz .
  • Niech . Wówczas , gdyż każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.
  • Jeśli natomiast otrzymujemy zależności
    Jest tak dlatego, iż każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym jak i górnym zbioru E.

Porządki częściowe[edytuj]

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane tylko przy użyciu porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

Definicja[edytuj]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że i . Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element nazywamy elementem maksymalnym w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element nazywamy elementem minimalnym w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element nazywamy elementem największym w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy:

.

Element jest kresem górnym (supremum) zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych .

Element jest kresem dolnym (infimum) zbioru , wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych .

Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru , a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru (o ile takie istnieją w zbiorze ).

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ma kres górny, to porządek nazywa się zupełnym.

Własności i przykłady[edytuj]

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych z porządkiem naturalnym i zbiór , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio i .
  • Jeśli jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy taki że i obcięcie zgadza się z , oraz jest gęstym podzbiorem . Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ma kres dolny.
  • Niech będzie algebrą Boole'a i niech będzie porządkiem boole'owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy, gdy ).
    • Kres górny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany sumą zbioru . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a :
      każdy niepusty podzbiór ma kres górny (tzn sumę),
      każdy niepusty podzbiór ma kres dolny (tzn produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli , to
      oraz

Zobacz też[edytuj]