Kresy dolny i górny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicje[edytuj]

Niech będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru nazywamy liczbę spełniającą:

dla wszystkich elementów .

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę spełniającą:

  • jest ograniczeniem górnym zbioru ;
  • jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru , to .

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru oznaczamy , kres dolny .

Zapisy oraz oznaczają, że jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności[edytuj]

  • Każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
  • Przypuśćmy że jest niepustym zbiorem oraz , wówczas
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz ;
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .
  • Jeżeli oraz oznaczymy , to:
    ,
    .

Przykłady[edytuj]

  • Niech . Wówczas:
, ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
, ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
  • Niech . Wówczas:
, bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
, bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech . Wówczas podobnie jak dla zbioru , oraz .
  • Niech . Wówczas:
, gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech . Wówczas:
,  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych[edytuj]

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje[edytuj]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech . Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru , jeśli:

.

Element nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru , jeśli:

.

Element jest kresem górnym (supremum) zbioru , jeśli jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych , tzn.

jest ograniczeniem górnym zbioru ;
jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru , to .

Element jest kresem dolnym (infimum) zbioru , jeśli jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych , tzn.

jest ograniczeniem dolnym zbioru ;
jeśli jest ograniczeniem dolnym zbioru , to .

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ma kres górny, to porządek nazywa się zupełnym.

Własności[edytuj]

  • Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru , a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru (o ile takie istnieją w zbiorze ).
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia i odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru są jednoznaczne.
  • Jeśli jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy taki że i obcięcie zgadza się z , oraz jest gęstym podzbiorem . Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ma kres dolny.

Przykłady[edytuj]

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych z porządkiem naturalnym i zbiór , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
    Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać i ma oba kresy.
  • Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór nie ma w zbiorze kresu górnego, bowiem jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru , ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór nie ma w zbiorze kresu dolnego.
  • Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ma w zbiorze kres górny , podzbiór ma w zbiorze kres dolny .
  • Niech będzie algebrą Boole'a i niech będzie porządkiem boole'owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy, gdy ).
    • Kres górny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany sumą zbioru . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a :
      każdy niepusty podzbiór ma kres górny (tzn sumę),
      każdy niepusty podzbiór ma kres dolny (tzn produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli , to
      oraz

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112-122, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59-61. ISBN 83-01-00756-7.