Kryteria zbieżności szeregów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.

W niniejszym artykule

(A)

oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.

Warunek konieczny[edytuj]

Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:

Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, to

[1].

Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu nie istnieje bądź istnieje i jest różna od , to szereg (A) jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.

Przykłady
  • Szereg
jest rozbieżny, gdyż
.
  • W przypadku, gdy
warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
,
mimo że
[2].
Szereg
jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również

Warunek Cauchy’ego[edytuj]

Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu (A) oznacza zbieżność ciągu sum częściowych

Oznacza to, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

[3].

Zbieżność bezwzględna[edytuj]

Szereg (A) nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg

(│A│)
Twierdzenie
Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny[4].
Dowód
Załóżmy, że szereg (│A│) jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna , że dla oraz dowolnego
Z nierówności trójkąta wynika, że
a zatem szereg (A) także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Szeregi o wyrazach nieujemnych[edytuj]

Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.

Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.

i takie założenie jest niżej poczynione.

Kryterium porównawcze[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium porównawcze.

Niech

(B)

będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie , że dla wszelkich zachodzi nierówność

.

Wówczas

  1. jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
  2. jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny[5].
Wersja graniczna

Pod założeniem, jeżeli istnieje granica

  • gdy , to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
  • gdy , to z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B)[6].
Wersja ułamkowa

Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność

ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B))[7].

Kryterium d’Alemberta[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Niech

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest rozbieżny[8].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

,

to

  • gdy , szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy , szereg (A) jest rozbieżny[8].

Kryterium Cauchy’ego[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Cauchy’ego.
  • Jeżeli
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli
to szereg (A) jest rozbieżny[9].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

,

to

  • gdy , szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy , szereg (A) jest rozbieżny[9].

Kryterium Raabego[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Raabego.

Niech

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg (A) rozbieżny[10][11].

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

  • Jeżeli
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla prawie wszystkich , , to szereg (A) jest rozbieżny[12].
Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy , oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy [13].

Kryterium Schlömilcha[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Schlömilcha.

Niech

  • Jeżeli
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność , to szereg (A) jest rozbieżny[14].

Kryterium (Diniego-)Kummera[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Kummera.

Niech będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

Niech ponadto

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest rozbieżny[15].
Wersja graniczna

Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego , to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy , oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy [16].

Kryterium Bertranda[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Bertranda.

Niech

Wówczas

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy
;
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy
[16][17].
Wersja graniczna

Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego , to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy , oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy .

W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.


Kryterium Gaussa[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Gaussa.

Jeżeli istnieją takie liczby , oraz ciąg ograniczony o tej własności, że dla dostatecznie dużych zachodzi związek

,

to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy lub oraz ;
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy lub oraz [18].

Kryterium całkowe[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium całkowe.

Niech będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto dla każdego . Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

[19].

Kryterium Jermakowa[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Jermakowa.

Niech będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych , tj. dla pewnego , spełniona jest nierówność

to szereg

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych zachodzi nierówność

to szereg ten jest rozbieżny[20].

Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu[edytuj]

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

(C)

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjne) szereg (C) można zastąpić szeregiem

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej [21].

Kryterium Schlömilcha o zagęszczaniu[edytuj]

Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych

o tej własności, że

dla pewnego oraz wszystkich . Jeżeli ciąg wyrazów szeregu (A) jest nierosnący, to szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

[22].

Szeregi o wyrazach dowolnych[edytuj]

Kryterium Leibniza[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Leibniza.

Jeżeli ciąg liczbowy spełnia następujące warunki:

  1. dla wszystkich ;
  2. ;
  3. ciąg jest nierosnący, tj. ,

to szereg

jest zbieżny.

Kryterium Abela[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Abela.

Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

jest zbieżny[23].

Kryterium Dirichleta[edytuj]

Jeżeli ciąg sum częściowych

szeregu (A) jest ograniczony, a jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do , to szereg

jest zbieżny.

Szeregi funkcyjne[edytuj]

 Osobny artykuł: szereg funkcyjny.

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech

będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów

mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.

Niżej

oraz

są dowolnymi ciągami funkcji.

Kryterium Weierstrassa[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Weierstrassa.

Jeżeli dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba , że

dla każdego elementu zbioru , oraz szereg liczbowy

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [24].

Kryterium Abela[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium Abela.

Jeśli

  • szereg
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze ;
  • dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny;
  • istnieje taka liczba , że dla prawie każdej liczby naturalnej oraz wszystkich elementów zbioru spełniony jest warunek
,

to szereg funkcyjny

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [25].

Kryterium Dirichleta[edytuj]

Jeżeli

  • istnieje taka liczba dodatnia że dla wszystkich liczb naturalnych oraz wszystkich elementów zbioru :
,
  • dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do ,

to szereg funkcyjny

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze [26].

Przypisy

Bibliografia[edytuj]