Kryteria zbieżności szeregów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń pozwalających ustalić, czy dany szereg jest zbieżny czy nie. W większości kryteria są warunkami koniecznymi na zbieżność lub rozbieżność szeregu - w takim przypadku niespełnienie kryterium oznacza pewność (poprzez kontrapozycję) co do zbieżności lub niezbieżności. Wyjątkiem jest kryterium Cauchy’ego będące warunkiem równoważnym.

W artykule oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.

Warunek konieczny zbieżności[edytuj]

Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności. Pozwala on stwierdzić, kiedy dany szereg nie jest zbieżny. Badanie problemu zbieżności szeregu powinno się zaczynać od sprawdzenia tego kryterium, a jeśli warunek konieczny jest spełniony, przejść do kolejnych kryteriów.

Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeśli wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, symbolicznie , to szereg ten jest rozbieżny.

Przykład. Szereg jest rozbieżny, gdyż .

Jeśli , to warunek konieczny nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny czy nie i trzeba użyć innego kryterium. Na przykład szereg harmoniczny jest rozbieżny mimo, że .

Przykład. Aby wyznaczyć granicę rozważmy szereg . Korzystając z kryterium d’Alemberta nietrudno pokazać, że szereg ten jest zbieżny. Zatem na mocy warunku koniecznego zbieżności szeregu otrzymujemy, że .

Warunek Cauchy’ego zbieżności[edytuj]

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy’ego:

Szereg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy: Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych szeregu jest ciągiem Cauchy’ego.

Zbieżność bezwzględna[edytuj]

Szereg nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg . Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Dowód. Załóżmy, że jest zbieżny. Spełnia on warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby istnieje liczba taka, że

dla dowolnego . Ponieważ , więc szereg także spełnia warunek Cauchy’ego, czyli jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę (zobacz: szereg).

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu . Zauważmy, że zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności szeregu , gdzie jest dowolną liczbą naturalną. Oznacza to, że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby jego wyrazów. Ta obserwacja pozwala na nieznaczne wzmocnienie poniższych kryteriów, przez dopisanie, że pewne warunki zachodzą dla dostatecznie dużych n, tzn. istnieje liczba taka, że pewien warunek zachodzi dla . W kryteriach d’Alemberta i Raabego wystarczy założyć, że zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium porównawczym wystarczy założyć, że zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium całkowym wystarczy założyć, że jest funkcją monotonicznie malejącą dla , gdzie jest pewną stałą.

Kryterium d’Alemberta[edytuj]

Kryterium d’Alemberta: Załóżmy, że dla każdego . Jeżeli , to szereg jest zbieżny; jeżeli istnieje liczba taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich większych od , to szereg jest rozbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy granica jest równa 1. Warto zauważyć, że warunek (podobnie jak ) implikuje, że istnieje taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich , a zatem implikuje rozbieżność szeregu .

W przypadku, gdy szereg ma wyrazy dodatnie, kryterium d’Alemberta można zapisać w następującej uproszczonej i łatwiejszej do zapamiętania formie:

szereg jest zbieżny

szereg jest rozbieżny

kryterium nie rozstrzyga

Dowód: Załóżmy, że . Oznacza to, że istnieją liczby oraz takie, że dla każdego mamy . Zatem dla każdego . Stąd otrzymujemy dla każdego . Szereg

jest zbieżny, gdyż jest szeregiem geometrycznym o ilorazie . Jest on zbieżną majorantą szeregu

.

Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny, co implikuje zbieżność szeregu .

Załóżmy teraz, że istnieje liczba taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich większych od . Oznacza to, że dla , czyli

To oznacza, że ciąg nie zbiega do zera. Zatem szereg nie jest zbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.

Przykład 1. Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny szeregu zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład .

Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci . Mamy

.

Zatem korzystając z faktu, że , otrzymujemy , co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.

Przykład 2. Kryterium d’Alemberta nie pozwala rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny, gdy . Aby to zilustrować, rozważmy dwa szeregi i , gdzie i . Wówczas . Jednak jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2.

Kryterium Raabego[edytuj]

Jeżeli kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga, czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

szereg jest zbieżny

szereg jest rozbieżny

kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 – inaczej niż w przypadku kryterium d’Alemberta i Cauchy’ego.

Kryterium Kummera[edytuj]

Szereg , dla którego dla dostatecznie dużych n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg liczb dodatnich i stała takie, że dla dostatecznie dużych n zachodzi:

Dla ciągu wynika stąd pierwsza część kryterium d’Alemberta (bo ).

Dla ciągu wynika stąd pierwsza część kryterium Raabego (bo ).

Kryterium Cauchy’ego[edytuj]

Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego): Jeżeli granica ciągu istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica dolna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Dowód. Załóżmy, że . To oznacza, że istnieją liczby i takie, że dla każdego . To oznacza, że dla , czyli

,

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu .

Załóżmy teraz, że

(1) istnieje liczba taka, że dla .

Wówczas dla , więc szereg jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Zauważmy, że warunki oraz implikują warunek (1) i w konsekwencji implikują rozbieżność szeregu .

Przykład 1. W zastosowaniach kryterium Cauchy’ego przydatna jest znajomość następujących granic: oraz dla . Rozważmy szereg . Wówczas Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny.

Przykład 2. Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny, gdy . Aby to zilustrować, rozważmy dwa szeregi i , gdzie i . Wówczas (korzystamy z faktu, że ). Jednak jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu 2.

Twierdzenie. Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg spełnia warunek kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek Cauchy’ego, ale nie na odwrót.

Dowód. Załóżmy, że spełnia warunek kryterium d’Alemberta, tzn. . Wówczas istnieją liczba oraz taka, że dla dowolnego . Wówczas dla każdego . Zatem

.

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Przykład 3. Rozważmy szereg

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci . Zauważmy, że oraz . Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny. Z drugiej strony dla każdego , co pokazuje, że szereg nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Kryterium całkowe[edytuj]

 Osobny artykuł: kryterium całkowe.

Szereg o wyrazie ogólnym jest zbieżny, jeżeli jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania należy tak obrać, żeby funkcja w przedziale była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

Kryterium porównawcze[edytuj]

Niech i będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Jeśli dla prawie każdego , to

(i) jeśli jest zbieżny, to jest zbieżny;

(ii) jeśli jest rozbieżny, to jest rozbieżny.

Dowód: Na początek zauważmy, że implikacja (ii) wynika z (i) na mocy tautologii . Pokażemy (i). W tym celu załóżmy, że jest zbieżny do pewnej liczby . Oznacza to, że

.

Skoro dla każdego , to dla każdego . Skoro ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony. Zatem ograniczony jest też ciąg . Pokażemy, że ciąg jest monotoniczny. Niech . Wtedy . To pokazuje, że jest niemalejący i ograniczony, a zatem zbieżny. To oznacza, że zbieżny jest szereg .

Implikacje (i) oraz (ii) te nie dają się odwrócić. Niech i dla każdego . Wówczas oraz oraz . To pokazuje, że jeśli , to z rozbieżności nie wynika rozbieżność , a ze zbieżności nie wynika zbieżność .

Warunek dla każdego można osłabić zakładając jedynie, że istnieje liczba taka, że dla każdego mamy (mówimy wtedy, że nierówność zachodzi dla prawie wszystkich ).

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub geometrycznym.

Kryterium zagęszczania[edytuj]

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy’ego. Załóżmy, że szereg jest taki, że ciąg jest malejący, a jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg , to zbieżny jest szereg .

Kryterium porównawcze w wersji granicznej (nazywane też kryterium ilorazowym)[edytuj]

Niech i będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Jeśli spełnione są nierówności , to

(i) ze zbieżności jednego z szeregów wynika zbieżność drugiego szeregu;

(ii) z rozbieżności jednego z szeregów wynika rozbieżność drugiego szeregu.

Ponadto:

Jeżeli i jest zbieżny, to jest zbieżny.

Jeżeli i jest rozbieżny, to jest rozbieżny.

Szeregi o wyrazach dowolnych[edytuj]

Kryterium Leibniza[edytuj]

Jeżeli ciąg spełnia następujące dwa warunki:

  1. ,
  2. ciąg jest malejący,

to szereg jest zbieżny.

Dowód: Zgodnie z założeniem   . Oznaczmy sumę częściową szeregu   .

Rozważmy podciąg ciągu sum częściowych postaci   . Pokażemy, że ciąg ten jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Mamy bowiem

  (ciąg jest nierosnący)

oraz

 (ciąg jest ograniczony).

Niech   . Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że  . Otóż

.

Kryterium Abela[edytuj]

Jeżeli szereg jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta[edytuj]

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a ciąg jest monotoniczny i zbieżny do 0, to szereg jest zbieżny.

Szeregi funkcyjne[edytuj]

 Osobny artykuł: szereg funkcyjny.