Kryterium Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów, nazywanego także kryterium pierwiastkowym. Zobacz też: kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu.

Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie szereg liczbowy

(A)

o wyrazach nieujemnych.

  • Jeżeli

to szereg (A) jest zbieżny.

  • Jeżeli

to szereg (A) jest rozbieżny[1].

Wersja graniczna kryterium[edytuj | edytuj kod]

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

,

to

  • gdy , szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy , szereg (A) jest rozbieżny[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy

istnieją takie liczby i , że

dla każdego . To oznacza, że dla zachodzi nierówność

czyli

,

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).

W przypadku, gdy

istnieje taka liczba , że dla zachodzi nierówność

a więc spełniona jest także nierówność

Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy szereg

.
(C)

Wówczas

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (C) jest zbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności[edytuj | edytuj kod]

Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy

.

Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie

.

Wówczas

(korzystamy z faktu, że ). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[2][3].

Porównanie z kryterium d’Alemberta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi[4]. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.

.

Wówczas istnieją liczba oraz taka, że

dla dowolnego . Wówczas dla każdego . Zatem

.

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Niech dany będzie szereg

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci

.

Zauważmy, że

oraz

.

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony

co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
  2. Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
  3. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
  4. Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
  5. Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.