Kryterium Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów, nazywanego także kryterium pierwiastkowym. Zobacz też: kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu.

Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie szereg liczbowy

(A)

o wyrazach nieujemnych.

  • Jeżeli

to szereg (A) jest zbieżny.

  • Jeżeli

to szereg (A) jest rozbieżny[1].

Wersja graniczna kryterium[edytuj | edytuj kod]

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

to

  • gdy szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy szereg (A) jest rozbieżny[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy

istnieją takie liczby i że

dla każdego To oznacza, że dla zachodzi nierówność

czyli

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).

W przypadku, gdy

istnieje taka liczba że dla zachodzi nierówność

a więc spełniona jest także nierówność

Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy szereg

(B)

Wówczas

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (B) jest zbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności[edytuj | edytuj kod]

Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy

Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie

Wówczas

(korzystamy z faktu, że ). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[2][3].

Porównanie z kryterium d’Alemberta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi[4]. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.

Wówczas istnieją liczba oraz taka, że

dla dowolnego Wówczas dla każdego Zatem

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Niech dany będzie szereg

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci

Zauważmy, że

oraz

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony

co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]