Kryterium Condorceta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Condorceta – w teorii wyboru społecznego, cecha metod wyborczych, opisująca czy prowadzą do wybrania zwycięzców Condorceta, czyli tych opcji, które wygrywają w głosowaniach między wszystkimi parami alternatyw. Kryterium to odzwierciedla ustalenia francuskiego matematyka i filozofa z XVIII wieku, Nicolasa Condorceta.

Nie w każdej sytuacji da się określić tak zdefiniowanych zwycięzców. Ten problem może wystąpić wskutek cykliczności preferencji, co jest podstawą paradoksu Condorceta. Kryterium nie gwarantuje więc rozstrzygnięcia wyborów, i nie definiuje samodzielnie kompletnej metody głosowania. Zaproponowano szereg metod condorcetowskich, które są uzupełnione o różne sposoby rozwiązania paradoksu i mają na celu jednoznaczne wyłanianie zwycięzców spośród opcji spełniających kryterium Condorceta.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Wczesny opis metody ustalenia zwycięzcy głosowania przez porównanie poparcia parami, zgodnej z koncepcjami Condorceta, przedstawił już w 1299 średniowieczny filozof Rajmund Llull w traktacie De Arte Eleccionis. Ten sam autor opisał też system głosowania identyczny z metodą Bordy w powieści Blanquerna z ok. 1283. Nie towarzyszyło temu jednak matematyczne ani logiczne uzasadnienie dla stosowania tych procedur[1][2].

Analityczny opis zagadnienia sformułował w 1785 Condorcet, francuski myśliciel i orędownik demokracji, w pracy Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Przekonywał w niej o wartości demokratycznych metod, wyprowadzając twierdzenie Condorceta o ławie przysięgłych. Argumentował o sensowności uznania za zwycięską takiej opcji w wyborach, która wygrałaby z każdą z alternatyw w osobnych głosowaniach parami. Dostrzegał przy tym, że wyznaczenie takiej opcji nie jest możliwe, gdy preferencje są cykliczne (analogicznie do potrójnego cyklu w grze w papier, kamień, nożyce, jak to opisał np. Saari). W dalszej części tekstu przedstawił niekompletny zarys rozwiązania tego problemu; według opracowania Hamana, podobne do tego szkicu są np. rozwinięte później metoda maksyminu i metoda Copelanda[3][4][5][6].

W ciągu następnych stuleci badacze przedstawili wiele propozycji metod condorcetowskich; wszystkie spełniają kryterium Condorceta, jednak niektóre odbiegają od dodatkowych, pobocznych koncepcji tego myśliciela[5].

Opis formalny[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z notacją Fishburna, formalna definicja klasycznego kryterium Condorceta określa, że przy relacji większościowego zwycięstwa w zestawieniu parami , funkcja wyboru społecznego jest condorcetowska wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zbiorów alternatyw i preferencji [7]:

, gdzie ,

to znaczy gdy wybiera dokładnie taki zbiór, w którym znajduje się jedynie opcja wygrywająca w głosowaniu większościowym z każdą inną alternatywą.

Fishburn opisał także dodatkowe warianty kryterium, które zaproponowano w 20 wieku:

Kryterium Smitha: jeśli można podzielić na niepuste podzbiory i , gdzie dla wszystkich i , to . Spełniająca to kryterium funkcja musi wybierać tylko najmniejszy zbiór alternatyw, które wygrywają ze wszystkimi opcjami spoza tego zbioru[8].

Inkluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: poza warunkami klasycznej formy kryterium, , gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

W notacji Hamana, jeśli w zbiorze alternatyw istnieje podzbiór słabych zwycięzców Condorceta (), czyli alternatywy nieprzegrywające w głosowaniu większościowym parami z żadnymi opcjami należącymi do , to co najmniej jedna z nich powinna należeć do zbioru alternatyw wybranych przez funkcję wyboru społecznego , przy zbiorze preferencji i relacji przewagi preferencji [5]:

Jest to osłabiona forma tego kryterium, ponieważ inaczej niż wersja Fishburna, nie wymaga aby wszystkie elementy zostały wybrane.

Ekskluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: , gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

W notacji Hamana, jeśli zbiór nie jest pusty, to żadna opcja spoza niego nie powinna zostać wybrana[5]:

Ścisłe kryterium Condorceta: , gdy drugi zbiór nie jest pusty[8].

Zwycięzcy Condorceta wygrywają ze wszystkimi alternatywami; „słabi” zwycięzcy Condorceta nie przegrywają z żadną. O ile preferencje są przechodnie lub antycykliczne, to w zbiorze alternatyw muszą znajdować się są co najmniej słabi wyborcy Condorceta[5].

Klasyczne kryterium Condorceta mieści się w kryterium inkluzywnym, które jest z kolei implikowane przez kryterium ekskluzywne, a ono przez ścisłą postać. Zbiór generowany przez kryterium Smitha mieści zbiór słabych zwycięzców Condorceta; są tożsame i zachodzi między nimi jednostronna implikacja, gdy preferencje są przechodnie[5].

Według Fishburna, spośród różnych postaci kryterium najbardziej przekonujące normatywnie jest kryterium Smitha[8]. Haman ocenia tak wersję klasyczną. Zaznacza jednak przy tym, że opcja uznana według niej za zwycięską, „nie musi być alternatywą »słuszną«, »korzystną« lub »sprawiedliwą«, [a kandydat] »najkompetentniejszy« i »najlepszy«”. Metody condorcetowskie gwarantują jednak co najmniej stabilność, ugruntowaną w autentycznym większościowym poparciu[5].

Dane z głosowania mogą być przedstawione w macierzy (wielkości przewagi w głosowania większościowym na parach alternatyw), lub macierzy (wyników głosowania większościowego). Dla mocnego zwycięzcy wszystkie wyrazy odpowiedniego wiersza poza główną przekątną mają wartości dodatnie; dla słabego zwycięzcy są nieujemne[5].

Spełnianie kryterium Condorceta[edytuj | edytuj kod]

Metody spełniające kryterium Condorceta[edytuj | edytuj kod]

Metody niespełniające kryterium Condorceta[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Duncan Black: The Theory of Committees and Elections. Cambridge University Press, 1958. (ang.).
  • Robin Farquarson: Theory of Voting. Oxford: 1969. (ang.).
  • Amartya Kumar Sen: Collective Choice and Social Welfare. Holden-Day, 1970. ISBN 978-0816277650. (ang.).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Kotaro Suzumura, Introduction, [w:] Kenneth J. Arrow, Amartya K. Sen, Kotaro Suzumura (red.), Handbook of Social Choice and Welfare, t. 1, North Holland, 2002, s. 1–32, DOI10.1016/s1574-0110(02)80004-2, ISBN 978-0-444-82914-6 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
  2. Introduction, [w:] Wulf Gaertner, A primer in social choice theory, wyd. 2, Oxford: Oxford University Press, 2009, s. 3–4, ISBN 978-0-19-956530-6, OCLC 654777858 [dostęp 2021-11-09].
  3. The Problem with Condorcet, [w:] Donald G. Saari, Basic Geometry of Voting, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1995, s. 51, DOI10.1007/978-3-642-57748-2_3, ISBN 978-3-540-60064-0 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
  4. Peter C. Fishburn, Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 469, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09].
  5. a b c d e f g h Jacek Haman, Demokracja, decyzje, wybory, wyd. 1, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe „Scholar”, 2003, s. 91–92, 99–100, ISBN 83-7383-035-9, OCLC 249763213 [dostęp 2021-10-30].
  6. Duncan Black, The Theory of Committees and Elections, Dordrecht: Springer, 1986, s. 168, DOI10.1007/978-94-009-4225-7, ISBN 978-94-009-4225-7 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
  7. Peter C. Fishburn, Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 471, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09].
  8. a b c d e Peter C. Fishburn, Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 478–479, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09].