Kryterium Jury

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryterium Jury, kryterium stabilności Jury – kryterium podobne do kryterium stabilności Hurwitza z tą różnicą, że może być wykorzystywane do analizy stabilności liniowych stacjonarnych układów cyfrowych w dziedzinie Z.

Aby skorzystać z kryterium w celu ustalenia czy układ cyfrowy jest stabilny, należy sprawdzić czy równanie charakterystyczne dziedziny Z spełnia określone wymagania. Jeśli funkcja nie spełnia jakiegoś wymogu oznacza to niestabilność, natomiast spełnienie wszystkich wymagań oznacza stabilność. Kryterium stabilności Jury stanowi zarówno konieczny jak i dostateczny warunek stabilności dla układów cyfrowych.

Niech będzie wielomianem charakterystycznym układu (czyli wielomianem mianownika transmitancji w dziedzinie Z). Kryterium Jury opiera się wyłącznie na wielomianie charakterystycznym. Aby sprawdzić kryterium Jury należy dla układu sprawdzić klika mniejszych kryteriów – jeśli którekolwiek z nich nie będzie spełnione, to oznacza, że układ jest niestabilny.

Sprawdzanie kryteriów[edytuj]

Niech dane będzie równanie charakterystyczne w postaci:

Następujące kryteria określają czy układ ma jakieś bieguny poza okręgiem jednostkowym (czyli w obszarze niestabilnym). Wartość w poniższych testach określa stopień wielomianu charakterystycznego.

Układ musi spełnić wszystkie poniższe kryteria, aby można go określić stabilnym. Jeśli układ nie spełni któregokolwiek testu można od razu przerwać badanie – wykonywanie kolejnych testów nie jest potrzebne.

Zasada 1.[edytuj]

Jeśli równa się 1, to wyjście układu musi być dodatnie:

Zasada 2.[edytuj]

Jeśli równa się −1, wówczas musi być spełniony następujący związek:

Zasada 3.[edytuj]

Wartość bezwzględna stałego wyrażenia musi być mniejsza niż wartość najwyższego współczynnika :

Jeśli Zasada 1, Zasada 2 i Zasada 3 są spełnione, należy skonstruować szereg Jury (patrz sekcja poniżej).

Zasada 4.[edytuj]

Gdy został już utworzony szereg Jury, wszystkie następujące relacje muszą być spełnione, aż do końca szeregu:

i tak dalej aż do ostatniego wiersza w szeregu. Jeśli wszystkie te warunki są spełnione to układ jest stabilny.

Jeśli konstruuje się szereg Jury, można wykonać testy 4. zasady. Jeśli szereg nie spełni tej zasady, w którymś z jej punktów, to można zakończyć wyliczenia szeregu: układ jest niestabilny.

Szereg Jury[edytuj]

Szereg Jury konstruuje się najpierw przez wypisanie szeregu współczynników, a następnie na wypisaniu kolejnego szeregu z tymi samymi współczynnikami, lecz w odwrotnej kolejności. Na przykład, jeśli wielomian jest układem trzeciego rzędu można napisać pierwsze dwa wiersze szeregu Jury w następujący sposób:

Teraz, gdy już wypisany został pierwszy rząd współczynników, dodaje się inny wiersz współczynników (użyte zostaną oznaczenia dla tego wiersza i oznaczenia dla następnego wiersza, jak w poprzedniej konwencji) i wylicza wartości niższych wierszy z wartości wyższych wierszy. Każdy nowo dodany wiersz będzie miał o jeden współczynnik mniej niż wiersz przed nim:

Uwaga
Ostatni rząd to rząd , i zawsze ma 3 elementy. Test nie ma sensu jeśli , ale w takim przypadku biegun jest znany.

Gdy już dojdzie się do wiersza z dwoma elementami, można zakończyć konstruowanie szeregu.

Aby wyliczyć wartości wierszy z nieparzystymi numerami, można użyć następujących wzorów. Każdy parzysty wiersz jest równy poprzedniemu wierszowi w odwrotnej kolejności. Wykorzystać można jako arbitralnie dobraną wartość indeksu. Wzory takie mogą być wielokrotnie wykorzystywane dla wszystkich elementów w szeregu:

Wzorzec ten może być kontynuowany dla wszystkich niższych wierszy w szeregu, jeśli jest taka potrzeba.