Macierz Kalmana

Kryterium Kalmana (zapisane pod postacią macierzy Kalmana) – sposób badania sterowalności układu dynamicznego.

Pozwala odpowiedzieć na pytanie: „Czy można wpływać na dany układ liniowy przedstawiony jako układ równań różniczkowych?”. Kryterium to stosowane jest w robotyce i stanowi pierwszy krok na drodze wyznaczenia sterowania. Jeśli nie jest spełnione, to obliczenia zostają przerwane. W przeciwnym wypadku otrzymuje się informację, że stan danego układu można dowolnie zmieniać.

Alternatywą kryterium Kalmana jest np. kryterium Hautusa oraz warunek na odwracalność macierzy Grama.

Twierdzenie

Układ automatyki przedstawiany jest jako „czarna skrzynka”, do której na wejście podawany jest sygnał sterujący, na wyjściu otrzymuje się sygnał wyjściowy, a wewnątrz panuje pewien stan układu. Układ taki zapisać można jako:

$\left\{{{\frac {dx}{dt}}=Ax+Bu \atop y=Cx}\right.,$

gdzie:

$A$ – macierz stanu,

$B$ – macierz wejść (sterowania),

$C$ – macierz wyjść,

$u$ – sygnał sterujący,

$y$ – sygnał wyjściowy,

$x$ – stan układu.

Kryterium Kalmana pozwala odpowiedzieć na pytanie czy taki układ może zmieniać dowolnie swój stan wewnętrzny, a tym samym swoje wyjście. Jednym ze sposobów rozwiązania kryterium jest skonstruowanie macierzy Kalmana, w postaci: $\Omega ={\begin{bmatrix}B&AB&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}},$ będącej macierzą kwadratową oraz sprawdzenie czy wyznacznik macierzy jest równy 0.

Jeśli $\det(\Omega )=0,$ to układ jest niesterowalny, w przeciwnym przypadku – sterowalny.

Przykład

${\frac {dx}{dt}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}u$

$\Omega ={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Wyznacznik macierzy $\Omega$ wynosi 0, dlatego też układ ten jest niesterowalny. Podany przykład można także przedstawić w postaci układu równań:

${\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{1}+u_{1},$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}.$

Jak z tego wynika sygnał sterujący może wpływać jedynie na szybkość zmian $x_{1}.$ Nie ma możliwości zmiany wartości $x_{2}.$

Zobacz też

• filtr Kalmana