Kryterium Leibniza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Leibnizakryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do jest zbieżny.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli ciąg liczbowy o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:

  1. ciąg jest nierosnący,

to szereg

jest zbieżny[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z założeniem

Niech

oznacza -tą sumę częściową rozważanego szeregu.

Podciąg ciągu sum częściowych postaci

jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,

(ciąg ten jest nierosnący) oraz

(ciąg ten jest ograniczony). Niech

Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że

Rzeczywiście,

[1].

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Szereg anharmoniczny
jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do [1].
  • w szeregu Grandiego ciąg wyrazów jest nierosnący,
w szeregu ciąg wyrazów jest malejący.
W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów nie jest zbieżny do i oba szeregi są rozbieżne
  • w szeregu gdzie ciąg wyrazów jest zbieżny do ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Kuratowski 1961 ↓, s. 43.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]