Kryterium Sylvestera

Kryterium Sylvestera – kryterium pozwalające badać określoność macierzy symetrycznej. Jest szczególnie szybkim testem do sprawdzenia, czy macierz jest określona dodatnio lub ujemnie, gdyż wymaga liczenia jedynie minorów głównych wiodących macierzy. Dla wykazania dodatniej / ujemnej półokreśloności i nieokreśloności wymaga często dużego nakładu obliczeniowego, związanego z liczeniem minorów głównych macierzy, których jest znacznie więcej, niż minorów głównych wiodących. Wtedy korzystniejsze może być stosowanie innych kryteriów, jak np. liczenie wartości własnych macierzy.

Badanie określoności macierzy symetrycznych ma duże znaczenie jako metoda badania określoności form kwadratowych, co pozwala badać rodzaje ekstremów i punktów siodłowych form. Jeżeli macierz formy nie jest symetryczna, to liczy się określoność części symetrycznej, wydzielonej z macierzy niesymetrycznej. Dokładniej problem omówiono w artykule minor.

Nazwa pochodzi od brytyjskiego matematyka J.J. Sylvestera.

Założenia

Macierz $A$ jest macierzą symetryczną o współczynnikach rzeczywistych, tj.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

Definicja minorów głównych wiodących

Minorami wiodącymi głównymi macierzy $A$ nazywamy minory utworzone z górnego lewego pod-bloku o wymiarach $l\times l$, wycięte z macierzy $A$, tj. minory postaci

$M_{l}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{l1}&a_{l2}&\dots &a_{ll}\end{bmatrix}},\quad l=1,2,\dots ,n$,

gdzie $\det$ oznacza operację obliczenia wyznacznika macierzy. Np.

$M_{1}=a_{11},$    $M_{2}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{22}$ - minory główne wiodące, pierwszy i drugi

Kryterium Sylvestera

Tw. 1 (nt. warunków dodatniej określoności macierzy)

Macierz symetryczna $A$ jest dodatnio określona $\Longleftrightarrow$ jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie, tj.

$M_{1}>0,\quad M_{2}>0,...,M_{n}>0$

Tw. 2 (nt. warunków ujemnej określoności macierzy)

Macierz symetryczna $A$ jest ujemnie określona $\Longleftrightarrow$ jej wiodące minory główne są naprzemiennie ujemne i dodatnie, tj.

$M_{1}<0,\quad M_{2}>0,\quad M_{3}<0,\quad M_{4}>0,...$

Tw. 3 Dodatnia półokreśloność

Macierz symetryczna $A$ jest dodatnio półokreślona $\Longleftrightarrow$ wszystkie główne minory (nie tylko wiodące) są nieujemne.

Tw. 4 Ujemna półokreśloność

Macierz symetryczna $A$ jest ujemnie półokreślona $\Longleftrightarrow$ wszystkie główne minory rzędu nieparzystego są niedodatnie, a wszystkie główne minory rzędu parzystego są nieujemne.

Tw. 5 Nieokreśloność

Macierz symetryczna $A$ jest nieokreślona, jeśli powyższe warunki nie są spełnione.

Reguły mnemotechniczne

1. Sekwencje znaków minorów głównych wiodących, zaczynając od minora 1-go stopnia do n-tego stopnia

$[+,+,+,\dots ,+]\Rightarrow A{\text{ -- dodatnio określona}},$

$[-,+,-,+,\dots ]\Rightarrow A{\text{ -- ujemnie określona}},$

2. Sekwencje znaków wszystkich minorów wiodących (nie tylko głównych), zaczynając od minora 1-go stopnia do n-tego stopnia

$[-/0,+/0,-/0,+/0,\dots ]\Rightarrow A{\text{ -- ujemnie półokreślona}},$$[+/0,+/0,+/0,+/0,\dots +/0]\Rightarrow A{\text{ -- dodatnio półokreślona}},$

Związek między określonością macierzy i określonością formy kwadratowej

Tw. 6

Jeśli macierz $A$ traktować jako macierz formy kwadratowej

$f(x)=\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k},\;a_{jk}=a_{kj},$

przy czym $A$ jest macierzą symetryczną, tj. dla każdych indeksów $i,j$ mamy $a_{jk}=a_{kj},$

to określoność formy jest zgodna z określonością jej macierzy.

Przykłady

1. Macierz

$M={\begin{bmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{bmatrix}}$

ma następujące główne minory wiodące:

$\det[2]=2,\qquad \det {\begin{bmatrix}2&2\\2&5\end{bmatrix}}=6,\qquad \det {\begin{bmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{bmatrix}}=1$

Ponieważ wszystkie te minory są dodatnie, to macierz $M$ jest dodatnio określona.

2. Macierz

$N={\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&-5&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$

ma następujące główne minory wiodące:

$\det[-2]=-2,\qquad \det {\begin{bmatrix}-2&0\\0&-5\end{bmatrix}}=10,\qquad \det {\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&-5&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}=-10$

Ponieważ minory te mają znaki $-+-$, to macierz $N$ jest ujemnie określona.

Przykład: Macierz niesymetryczna 3×3

Rozważmy macierz $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.$

Macierz $A$ nie jest symetryczna, więc określoność formy kwadratowej, której odpowiada ta macierz, badamy dla jej części symetrycznej $S={\frac {A+A^{T}}{2}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\3&5&7\\5&7&9\end{bmatrix}},$ gdzie $A^{T}$ - macierz transponowana macierzy $A$.

Najpierw liczymy minory główne wiodące macierzy S (lewe górne wyznaczniki): $\Delta _{1}=1,\quad \Delta _{2}=\det {\begin{bmatrix}1&3\\3&5\end{bmatrix}}=-4,\quad \Delta _{3}=\det S=0.$

Z kryterium Sylvestera wynika:

• macierz $S$ nie jest dodatnio określona, gdyż $\Delta _{2}<0$, a więc nie jest zgodna z sekwencją znaków $+++$
• macierz $S$ nie jest ujemnie określona, gdyż $\Delta _{1}>0$ oraz $\Delta _{2}<0$, a więc nie jest zgodna z sekwencją znaków $-+-$
• macierz $S$ nie jest dodatnio półokreślona, gdyż $\Delta _{2}<0$, a więc nie jest zgodna z sekwencją znaków $+++$ lub $0$ na jednym lub dwóch miejscach w tej sekwencji
• macierz $S$ nie jest ujemnie półokreślona, gdyż $\Delta _{1}>0$, a więc nie jest $-+-$ lub $0$ na jednym lub dwóch miejscach w tej sekwencji

Reasumując: Już analiza sekwencji znaków minorów głównych wiodących pokazuje, że nie jest ona zgodna z żadnym wzorem sekwencji znaków, wymaganym od minorów głównych wiodących dla powyższych czterech typów określoności macierzy.

Wniosek: Nie trzeba liczyć pozostałych minorów głównych (innych niż wiodące), by stwierdzić, że macierz $S$ jest nieokreślona ( i osobliwa, bo $\det S=0$). Forma kwadratowa, zdefiniowana przez macierz $S$ ma więc w punkcie krytycznym punkt siodłowy (tu nie wyznaczaliśmy tego punktu, ale na pewno istnieje, skoro forma jest nieokreślona).

Zobacz też

• macierz Hessego

Bibliografia

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.

• Michał Góra, Formy kwadratowe - omówienie pełnego kryterium Sylvestera (w tym kryteria na macierze dodatnio i ujemnie określone oraz półokreślone dodatnio i ujemnie) wraz z przykładami obliczeń.

Linki zewnętrzne

• Mateusz Kowalski, Proste Kryterium Sylvester'a Ułatwia Określenie Macierzy - omówienie kryterium Sylwestra z przykładami na YouTube